Sume de pătrate și cuburi perfecte

Tema 11

Lucian Maran, MateMaraton, 07-12-2024

Problema 1. a) Arătați că 2020282020-2^8 este pătrat perfect.
b) Arătați că 202020192020^{2019} poate fi scris ca sumă de două pătrate perfecte.

Olimpiadă, etapa locală, Vrancea, 2020, E.569

Problema 2. a) Arătați că 10210^2 se poate scrie ca sumă a patru cuburi perfecte.
b) Determinați numerele naturale nenule distincte m,n,p,q,m,n,p,q, știind că m3+n3+p3+q3=102021.m^3+n^3+p^3+q^3=10^{2021}.

Gheorghe Achim, Olimpiadă, etapa locală, Prahova, 2019, E.570

Problema 3. a) Verificați dacă 2020=442+82+42+22.2020=44^2+8^2+4^2+2^2.
b) Arătați că 20202n+12020^{2n+1} se poate scrie ca sumă de patru pătrate perfecte, oricare ar fi numărul natural n.n.

Olimpiadă, etapa locală, Botoșani, 2020; Ialomița, 2018, E.571

Problema 4. a) Calculați a=10272a=10^2-7^2 și b=852682.b=85^2-68^2.
b) Scrieți numărul 51n51^n ca o diferență de două pătrate perfecte nenule, unde nN.n\in \N^*.

Olimpiadă, etapa locală, Argeș, 2020, E.572

Problema 5. Fie numărul N=22n+452n+102n52620n5n,N=2^{2n+4} \cdot 5^{2n} + 10^{2n} \cdot 5^2 - 6 \cdot 20^n \cdot 5^n, unde nn este număr natural.
a) Arătați că NN nu este pătrat perfect, pentru nicio valoare a lui n.n.
b) Scrieți numărul NN ca suma a trei pătrate perfecte.

Gabriela Ionică, Olimpiadă, etapa locală, Olt, 2020, E.573

Problema 6. a) Arătați că numărul x=(31+2+3++42+231+3+5++59):29x=(3^{1+2+3+\ldots+42} + 2 \cdot 3^{1+3+5+ \ldots+59}):29 este cub perfect.
b) Arătați că numărul xx poate fi scris ca o sumă de patru pătrate perfecte distincte nenule.

Olimpiadă, etapa locală, Arad, 2018, E.574