Problema 1. a) Arătați că $2020-2^8$ este pătrat perfect.
b) Arătați că $2020^{2019}$ poate fi scris ca sumă de două pătrate perfecte.

Problema 2. a) Arătați că $10^2$ se poate scrie ca sumă a patru cuburi perfecte.
b) Determinați numerele naturale nenule distincte $m,n,p,q,$ știind că $m^3+n^3+p^3+q^3=10^{2021}.$

Problema 3. a) Verificați dacă $2020=44^2+8^2+4^2+2^2.$
b) Arătați că $2020^{2n+1}$ se poate scrie ca sumă de patru pătrate perfecte, oricare ar fi numărul natural $n.$

Problema 4. a) Calculați $a=10^2-7^2$ și $b=85^2-68^2.$
b) Scrieți numărul $51^n$ ca o diferență de două pătrate perfecte nenule, unde $n\in \N^*.$

Problema 5. Fie numărul $N=2^{2n+4} \cdot 5^{2n} + 10^{2n} \cdot 5^2 - 6 \cdot 20^n \cdot 5^n,$ unde $n$ este număr natural.
a) Arătați că $N$ nu este pătrat perfect, pentru nicio valoare a lui $n.$
b) Scrieți numărul $N$ ca suma a trei pătrate perfecte.

Problema 6. a) Arătați că numărul $x=(3^{1+2+3+\ldots+42} + 2 \cdot 3^{1+3+5+ \ldots+59}):29$ este cub perfect.
b) Arătați că numărul $x$ poate fi scris ca o sumă de patru pătrate perfecte distincte nenule.