Sume de pătrate și cuburi perfecte

Tema 11

Lucian Maran, MateMaraton, 07-12-2024

Problema 1. a) Arătați că 2020−282020-2^8 este pătrat perfect.
b) Arătați că 202020192020^{2019} poate fi scris ca sumă de două pătrate perfecte.

Olimpiadă, etapa locală, Vrancea, 2020, E.569
Soluție:

a) 2020−28=2020−256=1764=422.2020 - 2^8 = 2020-256 = 1764 = 42^2.

b) De la punctul a) avem 2020=28+422=(24)2+422=162+422.2020 = 2^8+42^2 = (2^4)^2 + 42^2 = 16^2+42^2.
20202019=2020⋅20202018=2020^{2019}=2020 \cdot 2020^{2018}=
(162+422)⋅20202018=(16^2+42^2) \cdot 2020^{2018}=
162⋅(20201009)2+422⋅(20201009)2=16^2 \cdot (2020^{1009})^2 + 42^2 \cdot (2020^{1009})^2=
(16⋅20201009)2+(42⋅20201009)2.(16 \cdot 2020^{1009})^2 + (42 \cdot 2020^{1009})^2.

Problema 2. a) Arătați că 10210^2 se poate scrie ca sumă a patru cuburi perfecte.
b) Determinați numerele naturale nenule distincte m,n,p,q,m,n,p,q, știind că m3+n3+p3+q3=102021.m^3+n^3+p^3+q^3=10^{2021}.

Gheorghe Achim, Olimpiadă, etapa locală, Prahova, 2019, E.570
Soluție:

a) 102=64+27+8+1=43+33+23+13.10^2=64+27+8+1 = 4^3+3^3+2^3+1^3.

b) 102021=102⋅102019=10^{2021} = 10^2 \cdot 10^{2019}=
=(43+33+23+13)⋅102019==(4^3+3^3+2^3+1^3) \cdot 10^{2019}=
=43⋅(10673)3+33⋅(10673)3+23⋅(10673)3+(10673)3.=4^3 \cdot (10^{673})^3 + 3^3 \cdot (10^{673})^3 + 2^3 \cdot (10^{673})^3 + (10^{673})^3.

Deci putem alege: m=4⋅10673, n=3⋅10673, p=2⋅10673, q=10673.m=4 \cdot 10^{673},~ n=3 \cdot 10^{673},~ p=2 \cdot 10^{673},~ q=10^{673}.

Problema 3. a) Verificați dacă 2020=442+82+42+22.2020=44^2+8^2+4^2+2^2.
b) Arătați că 20202n+12020^{2n+1} se poate scrie ca sumă de patru pătrate perfecte, oricare ar fi numărul natural n.n.

Olimpiadă, etapa locală, Botoșani, 2020; Ialomița, 2018, E.571
Soluție:

a) 442+82+42+22=1936+64+16+4=2020.44^2+8^2+4^2+2^2 = 1936+64+16+4=2020.

b) 20202n+1=2020⋅20202n=2020^{2n+1} = 2020 \cdot 2020^{2n}=
=(442+82+42+22)⋅20202n==(44^2+8^2+4^2+2^2) \cdot 2020^{2n} =
=442⋅(2020n)2+82⋅(2020n)2+42⋅(2020n)2+22⋅(2020n)2==44^2 \cdot (2020^n)^2 + 8^2 \cdot (2020^n)^2 + 4^2 \cdot (2020^n)^2 + 2^2 \cdot (2020^n)^2=
=(44⋅2020n)2+(8⋅2020n)2+(4⋅2020n)2+(2⋅2020n)2.=(44 \cdot 2020^n)^2 + (8 \cdot 2020^n)^2 + (4 \cdot 2020^n)^2 + (2 \cdot 2020^n)^2.

Problema 4. a) Calculați a=102−72a=10^2-7^2 și b=852−682.b=85^2-68^2.
b) Scrieți numărul 51n51^n ca o diferență de două pătrate perfecte nenule, unde n∈N∗.n\in \N^*.

Olimpiadă, etapa locală, Argeș, 2020, E.572
Soluție:

a) a=102−72=100−49=51;a=10^2-7^2=100-49=51;
b=852−682=7225−4624=2601=512.b=85^2-68^2 = 7225-4624=2601=51^2.

b) Tratăm cazurile când nn este par și impar.

  • n=2k: 51n=512k=512⋅512k−2=(852−682)⋅512(k−1)=(85⋅51k−1)2−(68⋅51k−1)2.n=2k:~ 51^n=51^{2k} = 51^2 \cdot 51^{2k-2} = (85^2-68^2) \cdot 51^{2(k-1)} = (85 \cdot 51^{k-1})^2 - (68 \cdot 51^{k-1})^2.
  • n=2k+1: 512k+1=51⋅512k=(102−72)⋅512k=(10⋅51k)2−(7⋅51k)2.n=2k+1:~ 51^{2k+1} = 51 \cdot 51^{2k} = (10^2-7^2) \cdot 51^{2k}= (10 \cdot 51^k)^2 - (7 \cdot 51^k)^2.

Problema 5. Fie numărul N=22n+4⋅52n+102n⋅52−6⋅20n⋅5n,N=2^{2n+4} \cdot 5^{2n} + 10^{2n} \cdot 5^2 - 6 \cdot 20^n \cdot 5^n, unde nn este număr natural.
a) Arătați că NN nu este pătrat perfect, pentru nicio valoare a lui n.n.
b) Scrieți numărul NN ca suma a trei pătrate perfecte.

Gabriela Ionică, Olimpiadă, etapa locală, Olt, 2020, E.573
Soluție:

a) N=22n⋅24⋅52n+102n⋅52−6⋅20n⋅5n=N=2^{2n} \cdot 2^4 \cdot 5^{2n} + 10^{2n} \cdot 5^2 - 6 \cdot 20^n \cdot 5^n=
=102n⋅24+102n⋅52−6⋅102n==10^{2n} \cdot 2^4 + 10^{2n} \cdot 5^2 - 6 \cdot 10^{2n}=
102n(24+52−6)=102n⋅35=22n⋅52n+1⋅7.10^{2n}(2^4+5^2-6)= 10^{2n} \cdot 35 = 2^{2n} \cdot 5^{2n+1} \cdot 7.
Cum în descompunerea lui NN 55 și 77 apar la puteri impare, înseamnă că NN nu este pătrat perfect.

b) N=35⋅102n=N = 35 \cdot 10^{2n}=
=(25+9+1)102n==(25+9+1)10^{2n}=
=52⋅(10n)2+32⋅(10n)2+(10n)2==5^2 \cdot (10^n)^2 + 3^2 \cdot (10^n)^2 + (10^n)^2=
=(5⋅10n)2+(3⋅10n)2+(10n)2.=(5 \cdot 10^n)^2 + (3 \cdot 10^n)^2 + (10^n)^2.

Problema 6. a) Arătați că numărul x=(31+2+3+…+42+2⋅31+3+5+…+59):29x=(3^{1+2+3+\ldots+42} + 2 \cdot 3^{1+3+5+ \ldots+59}):29 este cub perfect.
b) Arătați că numărul xx poate fi scris ca o sumă de patru pătrate perfecte distincte nenule.

Olimpiadă, etapa locală, Arad, 2018, E.574
Soluție:

a) 1+2+3+…+42=42⋅43:2=903.1+2+3+\ldots+42 = 42 \cdot 43 :2 = 903.
1+3+5+…+59=1+2+3+…+60−(2+4+6+…+60)=30⋅61−2⋅15⋅31=900.1+3+5+ \ldots+59 = 1+2+3+\ldots+60 - (2+4+6+\ldots+60) = 30 \cdot 61 - 2 \cdot 15 \cdot 31 = 900.
x=(3903+2⋅3900):29=x=(3^{903} + 2 \cdot 3^{900}):29=
=3900(33+2):29,=3^{900}(3^3+2):29, deci x=3900=(3300)3.\boxed{x=3^{900}}=(3^{300})^3.

b) Folosim faptul că 81=62+52+42+22.\boxed{81=6^2+5^2+4^2+2^2}.
x=3900=(34)225=81⋅81224=x=3^{900}=(3^4)^{225} = 81 \cdot 81^{224}=
=(62+52+42+22)⋅3448==(6^2+5^2+4^2+2^2) \cdot 3^{448}=
=(6⋅3448)2+(5⋅3448)2+(4⋅3448)2+(2⋅3448)2.=(6 \cdot 3^{448})^2 + (5 \cdot 3^{448})^2 + (4 \cdot 3^{448})^2 + (2 \cdot 3^{448})^2.