Sume de pătrate și cuburi perfecte
Tema 11
Lucian Maran, MateMaraton, 07-12-2024
Problema 1. a) Arătați că 2020−28 este pătrat perfect.
b) Arătați că 20202019 poate fi scris ca sumă de două pătrate perfecte.
Olimpiadă, etapa locală, Vrancea, 2020, E.569
Soluție:
a) 2020−28=2020−256=1764=422.
b) De la punctul a) avem 2020=28+422=(24)2+422=162+422.
20202019=2020⋅20202018=
(162+422)⋅20202018=
162⋅(20201009)2+422⋅(20201009)2=
(16⋅20201009)2+(42⋅20201009)2.
Problema 2. a) Arătați că 102 se poate scrie ca sumă a patru cuburi perfecte.
b) Determinați numerele naturale nenule distincte m,n,p,q, știind că m3+n3+p3+q3=102021.
Gheorghe Achim, Olimpiadă, etapa locală, Prahova, 2019, E.570
Soluție:
a) 102=64+27+8+1=43+33+23+13.
b) 102021=102⋅102019=
=(43+33+23+13)⋅102019=
=43⋅(10673)3+33⋅(10673)3+23⋅(10673)3+(10673)3.
Deci putem alege: m=4⋅10673, n=3⋅10673, p=2⋅10673, q=10673.
Problema 3. a) Verificați dacă 2020=442+82+42+22.
b) Arătați că 20202n+1 se poate scrie ca sumă de patru pătrate perfecte, oricare ar fi numărul natural n.
Olimpiadă, etapa locală, Botoșani, 2020; Ialomița, 2018, E.571
Soluție:
a) 442+82+42+22=1936+64+16+4=2020.
b) 20202n+1=2020⋅20202n=
=(442+82+42+22)⋅20202n=
=442⋅(2020n)2+82⋅(2020n)2+42⋅(2020n)2+22⋅(2020n)2=
=(44⋅2020n)2+(8⋅2020n)2+(4⋅2020n)2+(2⋅2020n)2.
Problema 4. a) Calculați a=102−72 și b=852−682.
b) Scrieți numărul 51n ca o diferență de două pătrate perfecte nenule, unde n∈N∗.
Olimpiadă, etapa locală, Argeș, 2020, E.572
Soluție:
a) a=102−72=100−49=51;
b=852−682=7225−4624=2601=512.
b) Tratăm cazurile când n este par și impar.
- n=2k: 51n=512k=512⋅512k−2=(852−682)⋅512(k−1)=(85⋅51k−1)2−(68⋅51k−1)2.
- n=2k+1: 512k+1=51⋅512k=(102−72)⋅512k=(10⋅51k)2−(7⋅51k)2.
Problema 5. Fie numărul N=22n+4⋅52n+102n⋅52−6⋅20n⋅5n, unde n este număr natural.
a) Arătați că N nu este pătrat perfect, pentru nicio valoare a lui n.
b) Scrieți numărul N ca suma a trei pătrate perfecte.
Gabriela Ionică, Olimpiadă, etapa locală, Olt, 2020, E.573
Soluție:
a) N=22n⋅24⋅52n+102n⋅52−6⋅20n⋅5n=
=102n⋅24+102n⋅52−6⋅102n=
102n(24+52−6)=102n⋅35=22n⋅52n+1⋅7.
Cum în descompunerea lui N 5 și 7 apar la puteri impare, înseamnă că N nu este pătrat perfect.
b) N=35⋅102n=
=(25+9+1)102n=
=52⋅(10n)2+32⋅(10n)2+(10n)2=
=(5⋅10n)2+(3⋅10n)2+(10n)2.
Problema 6. a) Arătați că numărul x=(31+2+3+…+42+2⋅31+3+5+…+59):29 este cub perfect.
b) Arătați că numărul x poate fi scris ca o sumă de patru pătrate perfecte distincte nenule.
Olimpiadă, etapa locală, Arad, 2018, E.574
Soluție:
a) 1+2+3+…+42=42⋅43:2=903.
1+3+5+…+59=1+2+3+…+60−(2+4+6+…+60)=30⋅61−2⋅15⋅31=900.
x=(3903+2⋅3900):29=
=3900(33+2):29, deci x=3900=(3300)3.
b) Folosim faptul că 81=62+52+42+22.
x=3900=(34)225=81⋅81224=
=(62+52+42+22)⋅3448=
=(6⋅3448)2+(5⋅3448)2+(4⋅3448)2+(2⋅3448)2.