Sume de pătrate și cuburi perfecte

Tema 11

Lucian Maran, MateMaraton, 07-12-2024

Problema 1. a) Arătați că 2020−282020-2^8 este pătrat perfect.
b) Arătați că 202020192020^{2019} poate fi scris ca sumă de două pătrate perfecte.

Olimpiadă, etapa locală, Vrancea, 2020, E.569

Răspuns: a) 2020−28=422;2020 - 2^8 = 42^2; b) 20202019=(16⋅20201009)2+(42⋅20201009)2.2020^{2019}=(16 \cdot 2020^{1009})^2 + (42 \cdot 2020^{1009})^2.

Problema 2. a) Arătați că 10210^2 se poate scrie ca sumă a patru cuburi perfecte.
b) Determinați numerele naturale nenule distincte m,n,p,q,m,n,p,q, știind că m3+n3+p3+q3=102021.m^3+n^3+p^3+q^3=10^{2021}.

Gheorghe Achim, Olimpiadă, etapa locală, Prahova, 2019, E.570

Răspuns: a) 102=43+33+23+13;10^2=4^3+3^3+2^3+1^3; b) Putem alege: m=4⋅10673, n=3⋅10673, p=2⋅10673, q=10673.m=4 \cdot 10^{673},~ n=3 \cdot 10^{673},~ p=2 \cdot 10^{673},~ q=10^{673}.

Problema 3. a) Verificați dacă 2020=442+82+42+22.2020=44^2+8^2+4^2+2^2.
b) Arătați că 20202n+12020^{2n+1} se poate scrie ca sumă de patru pătrate perfecte, oricare ar fi numărul natural n.n.

Olimpiadă, etapa locală, Botoșani, 2020; Ialomița, 2018, E.571

Răspuns: 20202n+1=(44⋅2020n)2+(8⋅2020n)2+(4⋅2020n)2+(2⋅2020n)2.2020^{2n+1}=(44 \cdot 2020^n)^2 + (8 \cdot 2020^n)^2 + (4 \cdot 2020^n)^2 + (2 \cdot 2020^n)^2.

Problema 4. a) Calculați a=102−72a=10^2-7^2 și b=852−682.b=85^2-68^2.
b) Scrieți numărul 51n51^n ca o diferență de două pătrate perfecte nenule, unde n∈N∗.n\in \N^*.

Olimpiadă, etapa locală, Argeș, 2020, E.572

Răspuns: a) a=51; b=2601=51^2.$

Problema 5. Fie numărul N=22n+4⋅52n+102n⋅52−6⋅20n⋅5n,N=2^{2n+4} \cdot 5^{2n} + 10^{2n} \cdot 5^2 - 6 \cdot 20^n \cdot 5^n, unde nn este număr natural.
a) Arătați că NN nu este pătrat perfect, pentru nicio valoare a lui n.n.
b) Scrieți numărul NN ca suma a trei pătrate perfecte.

Gabriela Ionică, Olimpiadă, etapa locală, Olt, 2020, E.573

Răspuns: n=102n⋅35n=10^{2n} \cdot 35

Problema 6. a) Arătați că numărul x=(31+2+3+…+42+2⋅31+3+5+…+59):29x=(3^{1+2+3+\ldots+42} + 2 \cdot 3^{1+3+5+ \ldots+59}):29 este cub perfect.
b) Arătați că numărul xx poate fi scris ca o sumă de patru pătrate perfecte distincte nenule.

Olimpiadă, etapa locală, Arad, 2018, E.574

Răspuns: a) x=3900;x=3^{900}; b) x=(6⋅3448)2+(5⋅3448)2+(4⋅3448)2+(2⋅3448)2.x=(6 \cdot 3^{448})^2 + (5 \cdot 3^{448})^2 + (4 \cdot 3^{448})^2 + (2 \cdot 3^{448})^2.