Exercițiul 577

E.577. a) Arătați că 2626 și 26226^2 se pot scrie ca suma a trei pătrate perfecte nenule.
b) Demonstrați că pentru orice nn număr natural nenul, numărul 26n26^n se poate scrie ca suma a trei pătrate perfecte nenule.

Petre Năchilă, Olimpiadă, etapa locală, Prahova, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) 26=26=42+32+12; 262=242+82+62.26=26=4^2+3^2 + 1^2;~26^2=24^2+8^2+6^2.

Soluție:

a1) Începem cu pătratul perfect cel mai apropiat de 26.26.

  • 26−25=126-25 = 1 (nu convine);
  • 26−16=10=9+1.26-16 = 10 = 9+1. Deci 26=42+32+12.\boxed{26=4^2+3^2 + 1^2}.

a2) Metoda 1 - cu triplete pitagoreice (t.p.):

(5,12,13) t.p. ⇒2⋅(5,12,13) t.p. ⇒102+242=262(3,4,5) t.p. ⇒2⋅(3,4,5) t.p. ⇒62+82=102}⇒262=242+82+62. \begin{rcases} (5,12,13) \text{ t.p. } \Rightarrow 2 \cdot (5,12,13) \text{ t.p. } \Rightarrow 10^2+24^2=26^2\\ (3,4,5) \text{ t.p. } \Rightarrow 2 \cdot (3,4,5) \text{ t.p. } \Rightarrow 6^2+8^2=10^2 \end{rcases} \Rightarrow \boxed{26^2=24^2 + 8^2 + 6^2}.

Metoda 2. Începem cu pătratul perfect cel mai apropiat de 26226^2:

  • 262−252=676−625=51.26^2-25^2 = 676-625=51. Încercăm să-l descompunem pe 5151:
    • 51−49=251-49=2 (nu convine);
    • 51−36=1551-36=15 (nu convine);
    • 51−25=2651-25=26 (acesta și următoarele nu convin);
  • 262−242=676−576=100.26^2-24^2 = 676-576=100. Încercăm să-l descompunem pe 100100:
    • 100−81=19100-81=19 (nu convine);
    • 100−64=36⇒100=82+62.100-64=36 \Rightarrow \boxed{100=8^2+6^2}. În concluzie, 262=242+82+62.\boxed{26^2=24^2+8^2+6^2}.

b) Tratăm cazurile când nn este par și impar:

  • n=2k: 26n=262k=262⋅262k−2=(242+82+62)⋅262(k−1)=(24⋅26k−1)2+8⋅26k−1)2+(6⋅26k−1)2.n=2k:~ 26^n=26^{2k} = 26^2 \cdot 26^{2k-2} = (24^2+8^2+6^2) \cdot 26^{2(k-1)} = (24 \cdot 26^{k-1})^2 + 8 \cdot 26^{k-1})^2 + (6 \cdot 26^{k-1})^2.
  • n=2k+1: 262k+1=26⋅262k=(42+32+12)⋅262k=(4⋅26k)2+(3⋅26k)2+(26k)2.n=2k+1:~ 26^{2k+1} = 26 \cdot 26^{2k} = (4^2+3^2 + 1^2) \cdot 26^{2k}= (4 \cdot 26^k)^2 + (3 \cdot 26^k)^2 + (26^k)^2.