Exercițiul 578

E.578. a) Scrieți numărul 289289 ca sumă de 33 pătrate perfecte.
b) Arătați că 82018+92018+122018<2892018.8^{2018} + 9^{2018} + 12^{2018} < 289^{2018}.

Olimpiadă, etapa locală, Vaslui, 2018
Răspuns | Soluție

Răspuns: 289=82+92+122.289=8^2+9^2+12^2.

Soluție:

a) Intuiția ne spune că cele 33 numere căutate ar putea fi chiar cele de la punctul b. Într-adevăr, 82+92+122=64+81+144=289.8^2+9^2+12^2 = 64+81+144 = 289.

b) Folosind punctul a, inegalitatea devine:
82018+92018+122018<(82+92+122)⋅2892017.8^{2018} + 9^{2018} + 12^{2018} < (8^2+9^2+12^2) \cdot 289^{2017}.
8⋅82017+9⋅92017+12⋅122017<82⋅2892017+92⋅2892017+122⋅2892017.8 \cdot 8^{2017} + 9 \cdot 9^{2017} + 12 \cdot 12^{2017} < 8^2 \cdot 289^{2017} + 9^2 \cdot 289^{2017} + 12^2 \cdot 289^{2017}.
Dacă comparăm primul termen din membrul stâng cu primul termen din membrul 2 (și analog restul), concluzionăm că inegalitatea de mai sus este evidentă.