Exercițiul 571

E.571. a) Verificați dacă 2020=442+82+42+22.2020=44^2+8^2+4^2+2^2.
b) Arătați că 20202n+12020^{2n+1} se poate scrie ca sumă de patru pătrate perfecte, oricare ar fi numărul natural n.n.

Olimpiadă, etapa locală, Botoșani, 2020; Ialomița, 2018
Răspuns | Soluție

Răspuns: 20202n+1=(44⋅2020n)2+(8⋅2020n)2+(4⋅2020n)2+(2⋅2020n)2.2020^{2n+1}=(44 \cdot 2020^n)^2 + (8 \cdot 2020^n)^2 + (4 \cdot 2020^n)^2 + (2 \cdot 2020^n)^2.

Soluție:

a) 442+82+42+22=1936+64+16+4=2020.44^2+8^2+4^2+2^2 = 1936+64+16+4=2020.

b) 20202n+1=2020⋅20202n=2020^{2n+1} = 2020 \cdot 2020^{2n}=
=(442+82+42+22)⋅20202n==(44^2+8^2+4^2+2^2) \cdot 2020^{2n} =
=442⋅(2020n)2+82⋅(2020n)2+42⋅(2020n)2+22⋅(2020n)2==44^2 \cdot (2020^n)^2 + 8^2 \cdot (2020^n)^2 + 4^2 \cdot (2020^n)^2 + 2^2 \cdot (2020^n)^2=
=(44⋅2020n)2+(8⋅2020n)2+(4⋅2020n)2+(2⋅2020n)2.=(44 \cdot 2020^n)^2 + (8 \cdot 2020^n)^2 + (4 \cdot 2020^n)^2 + (2 \cdot 2020^n)^2.