Exercițiul 569

E.569. a) Arătați că 2020−282020-2^8 este pătrat perfect.
b) Arătați că 202020192020^{2019} poate fi scris ca sumă de două pătrate perfecte.

Olimpiadă, etapa locală, Vrancea, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) 2020−28=422;2020 - 2^8 = 42^2; b) 20202019=(16⋅20201009)2+(42⋅20201009)2.2020^{2019}=(16 \cdot 2020^{1009})^2 + (42 \cdot 2020^{1009})^2.

Soluție:

a) 2020−28=2020−256=1764=422.2020 - 2^8 = 2020-256 = 1764 = 42^2.

b) De la punctul a) avem 2020=28+422=(24)2+422=162+422.2020 = 2^8+42^2 = (2^4)^2 + 42^2 = 16^2+42^2.
20202019=2020⋅20202018=2020^{2019}=2020 \cdot 2020^{2018}=
(162+422)⋅20202018=(16^2+42^2) \cdot 2020^{2018}=
162⋅(20201009)2+422⋅(20201009)2=16^2 \cdot (2020^{1009})^2 + 42^2 \cdot (2020^{1009})^2=
(16⋅20201009)2+(42⋅20201009)2.(16 \cdot 2020^{1009})^2 + (42 \cdot 2020^{1009})^2.