Exercițiul 572

E.572. a) Calculați a=102−72a=10^2-7^2 și b=852−682.b=85^2-68^2.
b) Scrieți numărul 51n51^n ca o diferență de două pătrate perfecte nenule, unde n∈N∗.n\in \N^*.

Olimpiadă, etapa locală, Argeș, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) a=51; b=2601=51^2.$

Soluție:

a) a=102−72=100−49=51;a=10^2-7^2=100-49=51;
b=852−682=7225−4624=2601=512.b=85^2-68^2 = 7225-4624=2601=51^2.

b) Tratăm cazurile când nn este par și impar.

  • n=2k: 51n=512k=512⋅512k−2=(852−682)⋅512(k−1)=(85⋅51k−1)2−(68⋅51k−1)2.n=2k:~ 51^n=51^{2k} = 51^2 \cdot 51^{2k-2} = (85^2-68^2) \cdot 51^{2(k-1)} = (85 \cdot 51^{k-1})^2 - (68 \cdot 51^{k-1})^2.
  • n=2k+1: 512k+1=51⋅512k=(102−72)⋅512k=(10⋅51k)2−(7⋅51k)2.n=2k+1:~ 51^{2k+1} = 51 \cdot 51^{2k} = (10^2-7^2) \cdot 51^{2k}= (10 \cdot 51^k)^2 - (7 \cdot 51^k)^2.