Exercițiul 570

E.570. a) Arătați că 10210^2 se poate scrie ca sumă a patru cuburi perfecte.
b) Determinați numerele naturale nenule distincte m,n,p,q,m,n,p,q, știind că m3+n3+p3+q3=102021.m^3+n^3+p^3+q^3=10^{2021}.

Gheorghe Achim, Olimpiadă, etapa locală, Prahova, 2019

Răspuns: a) 102=43+33+23+13;10^2=4^3+3^3+2^3+1^3; b) Putem alege: m=410673, n=310673, p=210673, q=10673.m=4 \cdot 10^{673},~ n=3 \cdot 10^{673},~ p=2 \cdot 10^{673},~ q=10^{673}.

Soluție:

a) 102=64+27+8+1=43+33+23+13.10^2=64+27+8+1 = 4^3+3^3+2^3+1^3.

b) 102021=102102019=10^{2021} = 10^2 \cdot 10^{2019}=
=(43+33+23+13)102019==(4^3+3^3+2^3+1^3) \cdot 10^{2019}=
=43(10673)3+33(10673)3+23(10673)3+(10673)3.=4^3 \cdot (10^{673})^3 + 3^3 \cdot (10^{673})^3 + 2^3 \cdot (10^{673})^3 + (10^{673})^3.

Deci putem alege: m=410673, n=310673, p=210673, q=10673.m=4 \cdot 10^{673},~ n=3 \cdot 10^{673},~ p=2 \cdot 10^{673},~ q=10^{673}.