Exercițiul 574

E.574. a) Arătați că numărul x=(31+2+3+…+42+2⋅31+3+5+…+59):29x=(3^{1+2+3+\ldots+42} + 2 \cdot 3^{1+3+5+ \ldots+59}):29 este cub perfect.
b) Arătați că numărul xx poate fi scris ca o sumă de patru pătrate perfecte distincte nenule.

Olimpiadă, etapa locală, Arad, 2018
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: x=3900.x=3^{900}.

Indicația 2: 34=81=62+52+42+22.3^4=81=6^2+5^2+4^2+2^2.

Răspuns: a) x=3900;x=3^{900}; b) x=(6⋅3448)2+(5⋅3448)2+(4⋅3448)2+(2⋅3448)2.x=(6 \cdot 3^{448})^2 + (5 \cdot 3^{448})^2 + (4 \cdot 3^{448})^2 + (2 \cdot 3^{448})^2.

Soluție:

a) 1+2+3+…+42=42⋅43:2=903.1+2+3+\ldots+42 = 42 \cdot 43 :2 = 903.
1+3+5+…+59=1+2+3+…+60−(2+4+6+…+60)=30⋅61−2⋅15⋅31=900.1+3+5+ \ldots+59 = 1+2+3+\ldots+60 - (2+4+6+\ldots+60) = 30 \cdot 61 - 2 \cdot 15 \cdot 31 = 900.
x=(3903+2⋅3900):29=x=(3^{903} + 2 \cdot 3^{900}):29=
=3900(33+2):29,=3^{900}(3^3+2):29, deci x=3900=(3300)3.\boxed{x=3^{900}}=(3^{300})^3.

b) Folosim faptul că 81=62+52+42+22.\boxed{81=6^2+5^2+4^2+2^2}.
x=3900=(34)225=81⋅81224=x=3^{900}=(3^4)^{225} = 81 \cdot 81^{224}=
=(62+52+42+22)⋅3448==(6^2+5^2+4^2+2^2) \cdot 3^{448}=
=(6⋅3448)2+(5⋅3448)2+(4⋅3448)2+(2⋅3448)2.=(6 \cdot 3^{448})^2 + (5 \cdot 3^{448})^2 + (4 \cdot 3^{448})^2 + (2 \cdot 3^{448})^2.