Exercițiul 567

E.567. a) Scrieți numărul 2828 ca sumă dintre un cub perfect și un pătrat perfect.
b) Arătați că există numerele naturale nenule aa și b,b, astfel încât 282017=a3+b2.28^{2017} = a^3+b^2.

Olimpiadă, etapa locală, Botoșani, 2019
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) 28=33+12;28=3^3+1^2; b) a=3⋅28672, b=281008.a=3 \cdot 28^{672},~ b=28^{1008}.

Soluție:

a) 28=33+12.28=3^3+1^2.

b) 282017=28⋅282016=28^{2017} = 28 \cdot 28^{2016}=
=(33+12)⋅282016==(3^3+1^2) \cdot28^{2016}=
=33⋅28672⋅3+12⋅281008⋅2==3^3 \cdot 28^{672 \cdot 3} + 1^2 \cdot 28^{1008 \cdot 2}=
=(3⋅28672)3+(281008)2,=(3 \cdot 28^{672})^3 + (28^{1008})^2, deci există a=3⋅28672\boxed{a=3 \cdot 28^{672}} și b=281008.\boxed{b=28^{1008}}.