Exercițiul 573

E.573. Fie numărul N=22n+4⋅52n+102n⋅52−6⋅20n⋅5n,N=2^{2n+4} \cdot 5^{2n} + 10^{2n} \cdot 5^2 - 6 \cdot 20^n \cdot 5^n, unde nn este număr natural.
a) Arătați că NN nu este pătrat perfect, pentru nicio valoare a lui n.n.
b) Scrieți numărul NN ca suma a trei pătrate perfecte.

Gabriela Ionică, Olimpiadă, etapa locală, Olt, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: n=102n⋅35n=10^{2n} \cdot 35

Soluție:

a) N=22n⋅24⋅52n+102n⋅52−6⋅20n⋅5n=N=2^{2n} \cdot 2^4 \cdot 5^{2n} + 10^{2n} \cdot 5^2 - 6 \cdot 20^n \cdot 5^n=
=102n⋅24+102n⋅52−6⋅102n==10^{2n} \cdot 2^4 + 10^{2n} \cdot 5^2 - 6 \cdot 10^{2n}=
102n(24+52−6)=102n⋅35=22n⋅52n+1⋅7.10^{2n}(2^4+5^2-6)= 10^{2n} \cdot 35 = 2^{2n} \cdot 5^{2n+1} \cdot 7.
Cum în descompunerea lui NN 55 și 77 apar la puteri impare, înseamnă că NN nu este pătrat perfect.

b) N=35⋅102n=N = 35 \cdot 10^{2n}=
=(25+9+1)102n==(25+9+1)10^{2n}=
=52⋅(10n)2+32⋅(10n)2+(10n)2==5^2 \cdot (10^n)^2 + 3^2 \cdot (10^n)^2 + (10^n)^2=
=(5⋅10n)2+(3⋅10n)2+(10n)2.=(5 \cdot 10^n)^2 + (3 \cdot 10^n)^2 + (10^n)^2.