E.573. Fie numărul N=22n+4⋅52n+102n⋅52−6⋅20n⋅5n, unde n este număr natural.
a) Arătați că N nu este pătrat perfect, pentru nicio valoare a lui n.
b) Scrieți numărul N ca suma a trei pătrate perfecte.
Gabriela Ionică, Olimpiadă, etapa locală, Olt, 2020
Soluție:
a) N=22n⋅24⋅52n+102n⋅52−6⋅20n⋅5n=
=102n⋅24+102n⋅52−6⋅102n=
102n(24+52−6)=102n⋅35=22n⋅52n+1⋅7.
Cum în descompunerea lui N 5 și 7 apar la puteri impare, înseamnă că N nu este pătrat perfect.
b) N=35⋅102n=
=(25+9+1)102n=
=52⋅(10n)2+32⋅(10n)2+(10n)2=
=(5⋅10n)2+(3⋅10n)2+(10n)2.