Exercițiul 576

E.576. Fie numărul natural A=99…9⏟29 de 9 88…8⏟28 de 8 … 22…2⏟22 de 2 11…1⏟21 de 1.A=\underbrace{99\ldots9}_{\text{29 de 9}}~\underbrace{88\ldots8}_{\text{28 de 8}}~ \dots~ \underbrace{22\ldots2}_{\text{22 de 2}}~ \underbrace{11\ldots1}_{\text{21 de 1}}. Dacă SS reprezintă suma cifrelor numărului A,A, arătați că numărul SS poate fi scris ca o sumă de pătrate perfecte.

Roxana Manea, Olimpiadă, etapa locală, Giurgiu, 2020
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: S=9(20+9)+8(20+8)+…+1(20+1).S=9(20+9) + 8(20+8) + \ldots + 1(20+1).

Răspuns: S=92+82+…+12+(2⋅3⋅5)2.S=9^2+8^2+ \ldots+1^2 + (2 \cdot 3 \cdot 5)^2.

Soluție:

S=9⋅29+8⋅28+…+1⋅21=S=9 \cdot 29+ 8 \cdot 28 + \ldots + 1 \cdot 21=
=9(20+9)+8(20+8)+…+1(20+1)==9(20+9) + 8(20+8) + \ldots + 1(20+1)=
=92+82+…+12+20(9+8+…+1)==9^2+8^2+ \ldots+1^2 + 20(9+8+\ldots+1)=
=92+82+…+12+(2⋅3⋅5)2.=9^2+8^2+ \ldots+1^2 + (2 \cdot 3 \cdot 5)^2.