a) Construim AD⊥AC⇒A1=A2=60° și BD=3 cm. În triunghiul ABD,AB=sinA1BD=23.
b) Fie E piciorul perpendicularei din B pe AC. În triunghiul BCE,C=30°⇒BE=2BC=3 cm.
E.289. Dreptunghiul ABCD are AB=4 cm și BD=6 cm. Perpendiculara din punctul A pe dreapta BD intersectează dreapta CD în punctul E. a) Calculați valoarea sinusului unghiului DBC. b) Calculați lungimea segmentului DE.
Indicația 2:b) Raza cercului este perpendiculară pe latura rombului.
Răspuns:a)SABCD=323 cm; b)r=23.
Soluție:
a)ABD echilateral ⇒BD=8⇒OD=4⇒OA=43⇒SABCD=2AC⋅BD=323 cm.
b) În triunghiul AOD,OE=ADOA⋅OD=23 cm.
E.291. În triunghiul dreptunghic ABC, A=90°, se știe că AB+AC=3+26 și tgB=22. Determimnați: a) perimetrul triunghiului ABC; b) lungimea razei cercului înscris în triunghiul ABC.
Indicația 1:a) Sistem de două ecuații cu două necunoscute.
Indicația 2:SABC=SAIB+SBIC+SCIA
Răspuns:a)P=23(2+2);b)r=6−3.
Soluție:
a)cb=22b+c=3+26⎭⎬⎫⇒a=33,a=33,b=26,c=3, deci P=23(2+2).b)SABC=SAIB+SBIC+SCIA.
2b⋅c=2r(a+b+c)⇒r=6−3.
E.284. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC cu AB=AC. Înălțimea din vârful A intersectează latura BC în punctul D și AD=BC. Înălțimea din vârful B intersectează latura AC în punctul E. Înălțimile AD și BE se intersectează în punctul H. (2p) a) Arată că unghiurile DAC și EBC au aceeași măsură. (3p) b) Demonstrează că AH⋅HD=3.
Indicația 1: a) Într-un triunghi, suma măsurilor unghiurilor este 90°.
Indicația 2: b) △BHD∼△ACD
Soluție:
a)A1=90°−C,B1=90°−C⇒A1=B1.
b)△BHD∼△ACD⇒CDHD=ADBD
Cum CD=BD=2BC=2AD, egalitatea de mai sus devine HD=4AD, adică AH⋅HD=3.
E.286. În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCD cu AB∥CD și BC=10 cm. Semidreapta BD este bisectoarea unghiului ABC și măsura unghiului ABD este egală cu 15°. (2p) a) Determină măsura unghiului BCD. (3p) b) Arată că AB−AD≤14 cm.
b) Din DC∥AB⇒D1=B1, deci CD=CB=10 cm.
Construim CE⊥AB. Cum B=30°⇒CE=AD=5cm și BE=53cm. AB−AD=5+53. 5+53<14⇔53<9⇔75<81 (adevărat).
E.287. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD cu AB=910 cm și AC=30 cm. Dreptele AC și BD se intersectează în punctul O, iar punctul M este mijlocul segmentului CD. Dreptele BC și AM se intersectează în punctul E, iar dreptele OE și CD se intersectează în punctul P. (2p) a) Arată că aria dreptunghiului ABCD este egală cu 270 cm2. (3p) b) Arată că lungimea segmentului SP este egală cu 10 cm, unde S este punctul de intersecție a dreptelor AM și BD.
Indicația 1:P este centru de greutate al triunghiului ACE.
Indicația 2:S este centru de greutate al triunghiului ACD.
Indicația 3:△MSP∼△MAC.
Răspuns:SABCD=270 cm2.
Soluție:
a)BC2=AC2−AB2⇒BC=310⇒SABCD=270 cm2.
b)P este centru de greutate al triunghiului ACE⇒MCMP=31.
S este centru de greutate al triunghiului ACD⇒MAMS=31.
Deci △MSP∼△MAC⇒ACSP=MAMS=31⇒SP=10 cm.
Metoda 2: △SMD∼△SAB⇒SASM=ABMD=21
△PMO∼△PCE⇒PCPM=ECOM=21
De aici, continuarea este identică.
Nivel mediu
E.285. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O, în care CD este diametru. Punctul B aparține cercului astfel încât dreptele BO și CD sunt perpendiculare. Punctul M aparține arcului mic BC, dreptele DM și BO se intersectează în punctul N,DN=2⋅MN și MN=4 cm. (2p) a) Arată că măsura unghiului CMD este egală cu 90°. (3p) b) Calculează aria triunghiului DON.