Recapitulare pentru testul inițial (geometrie)

Recapitulare pentru testul inițial (geometrie)

Nivel introductiv

E.288. Se consideră un triunghi isoscel ABCABC cu BAC^=120°\widehat{BAC}=120\degree și BC=6BC=6 cm.
a) Arătați că AB=23AB=2\sqrt{3} cm.
b) Calculați distanța de la punctul BB la dreapta AC.AC.

Art, Test evaluare finală cls.7, 6/139
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: b) Dacă BE⊥ACBE \perp AC și C^=30°⇒BE=BC2.\widehat{C}=30\degree \Rightarrow BE=\dfrac{BC}{2}.

Răspuns: b) 33 cm.

Soluție:

a) Construim AD⊥AC⇒A1^=A2^=60°AD \perp AC \Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{A_2}=60\degree și BD=3BD=3 cm. În triunghiul ABD,AB=BDsin⁡A1=23.ABD, AB = \dfrac{BD}{\sin {A_1}} = 2\sqrt{3}.

b) Fie EE piciorul perpendicularei din BB pe AC.AC. În triunghiul BCE, C^=30°⇒BE=BC2=3 cm.BCE,~ \widehat{C}=30\degree \Rightarrow \boxed{BE=\dfrac{BC}{2}=3 \text{ cm}}.

E.289. Dreptunghiul ABCDABCD are AB=4AB=4 cm și BD=6BD=6 cm. Perpendiculara din punctul AA pe dreapta BDBD intersectează dreapta CDCD în punctul EE.
a) Calculați valoarea sinusului unghiului DBC.DBC.
b) Calculați lungimea segmentului DE.DE.

Art, Test evaluare finală cls.7, 6/138
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: b) △DEA∼△CBD.\triangle DEA \sim \triangle CBD.

Răspuns: a) sin⁡DBC^=23;\sin{\widehat{DBC}}=\dfrac{2}{3}; b) DE=5DE=5 cm.

Soluție:

a) sin⁡B1^=DCDB=23.\sin{\widehat{B_1}} = \dfrac{DC}{DB}=\dfrac{2}{3}.

b) Din triunghiul ABDABD obținem AD=25.AD=2\sqrt{5}. Totodată, B1^=E1^\widehat{B_1}=\widehat{E_1} și A1^=D1^.\widehat{A_1}=\widehat{D_1}.
△DEA∼△CBD⇒DECB=DACD⇒DE=25⋅254=5\triangle DEA \sim \triangle CBD \Rightarrow \dfrac{DE}{CB} = \dfrac{DA}{CD} \Rightarrow DE=\dfrac{2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}}{4} = 5 cm.

E.290. În rombul ABCDABCD se cunosc AB=8AB=8 cm și BAD^=60°.\widehat{BAD}=60\degree. Determinați:
a) Aria rombului ABCD;ABCD;
b) lungimea razei cercului înscris în romb.

Art, Test evaluare finală cls.7, 13/144
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: a) ABDABD echilateral.

Indicația 2: b) Raza cercului este perpendiculară pe latura rombului.

Răspuns: a) SABCD=323S_{ABCD}=32\sqrt{3} cm; b) r=23.r=2\sqrt{3}.

Soluție:

a) ABDABD echilateral ⇒BD=8⇒OD=4⇒OA=43⇒SABCD=AC⋅BD2=323\Rightarrow BD=8 \Rightarrow \boxed{OD=4} \Rightarrow \boxed{OA = 4\sqrt{3}} \Rightarrow S_{ABCD} = \dfrac{AC \cdot BD}{2}=32\sqrt{3} cm.

b) În triunghiul AOD, OE=OA⋅ODAD=23AOD,~ OE=\dfrac{OA \cdot OD}{AD} = 2\sqrt{3} cm.

E.291. În triunghiul dreptunghic ABCABC, A^=90°,\widehat{A}=90\degree, se știe că AB+AC=3+26AB+AC=\sqrt{3}+2\sqrt{6} și tg⁡B=22.\tg{B}=2\sqrt{2}. Determimnați:
a) perimetrul triunghiului ABC;ABC;
b) lungimea razei cercului înscris în triunghiul ABC.ABC.

Art, Test evaluare finală cls.7, 13/145
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: a) Sistem de două ecuații cu două necunoscute.

Indicația 2: SABC=SAIB+SBIC+SCIAS_{ABC} = S_{AIB} + S_{BIC} + S_{CIA}

Răspuns: a) P=23(2+2);P=2\sqrt{3}(2+\sqrt{2}); b) r=6−3.r=\sqrt{6}-\sqrt{3}.

Soluție:

a)

bc=22b+c=3+26}⇒a=33, a=33, b=26, c=3, deci P=23(2+2). \begin{rcases} \dfrac{b}{c} = 2\sqrt{2} \\ b+c=\sqrt{3}+2\sqrt{6} \end{rcases} \Rightarrow \boxed{a=3\sqrt{3}},~ \boxed{a=3\sqrt{3}}, ~\boxed{b=2\sqrt{6}}, ~\boxed{c=\sqrt{3}}, \text{ deci } \boxed{P=2\sqrt{3}(2+\sqrt{2})}.
b) SABC=SAIB+SBIC+SCIA.S_{ABC} = S_{AIB} + S_{BIC} + S_{CIA}.

b⋅c2=r2(a+b+c)⇒r=6−3.\dfrac{b \cdot c}{2} = \dfrac{r}{2}(a+b+c) \Rightarrow \boxed{r=\sqrt{6}-\sqrt{3}}.

E.284. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABCABC cu AB=AC.AB=AC. Înălțimea din vârful AA intersectează latura BCBC în punctul DD și AD=BC.AD=BC. Înălțimea din vârful BB intersectează latura ACAC în punctul E.E. Înălțimile ADAD și BEBE se intersectează în punctul H.H.
(2p) a) Arată că unghiurile DACDAC și EBCEBC au aceeași măsură.
(3p) b) Demonstrează că AH⋅HD=3.AH \cdot HD = 3.

Examen EN, 2024
Indicații (2) | Soluție

Indicația 1: a) Într-un triunghi, suma măsurilor unghiurilor este 90°.90\degree.

Indicația 2: b) △BHD∼△ACD\triangle BHD \sim \triangle ACD

Soluție:

a) A1^=90°−C^, B1^=90°−C^⇒A1^=B1^.\widehat{A_1}=90\degree - \widehat{C},~\widehat{B_1}=90\degree - \widehat{C} \Rightarrow \boxed{\widehat{A_1}=\widehat{B_1}}.

b) △BHD∼△ACD⇒HDCD=BDAD\triangle BHD \sim \triangle ACD \Rightarrow\dfrac{HD}{CD} = \dfrac{BD}{AD}

Cum CD=BD=BC2=AD2,CD=BD=\dfrac{BC}{2} = \dfrac{AD}{2}, egalitatea de mai sus devine HD=AD4,HD = \dfrac{AD}{4}, adică AH⋅HD=3.\boxed{AH \cdot HD = 3}.

E.286. În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCDABCD cu AB∥CDAB \parallel CD și BC=10BC =10 cm. Semidreapta BDBD este bisectoarea unghiului ABCABC și măsura unghiului ABDABD este egală cu 15°.15\degree.
(2p) a) Determină măsura unghiului BCDBCD.
(3p) b) Arată că AB−AD≤14AB - AD \leq 14 cm.

Examen EN, 2023
Soluție
Soluție:


a) B^=30°⇒C^=360−180−30,\widehat{B} = 30\degree \Rightarrow \widehat{C}= 360-180-30, deci C^=150°.\boxed{\widehat{C}=150\degree}.

b) Din DC∥AB⇒D1^=B1^,DC \parallel AB \Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{B_1}, deci CD=CB=10CD=CB=10 cm.
Construim CE⊥AB.CE \perp AB. Cum B^=30°⇒CE=AD=5 cm\widehat{B}=30\degree \Rightarrow \boxed{CE=AD=5 ~\text{cm}} și BE=53 cm.\boxed{BE=5\sqrt{3} ~cm}.
AB−AD=5+53.AB-AD = 5+5\sqrt{3}.
5+53<14⇔53<9⇔75<815+5\sqrt{3} <14 \Leftrightarrow 5\sqrt{3} < 9 \Leftrightarrow 75 < 81 (adevărat).

E.287. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCDABCD cu AB=910AB = 9\sqrt{10} cm și AC=30AC=30 cm. Dreptele ACAC și BDBD se intersectează în punctul O,O, iar punctul MM este mijlocul segmentului CD.CD. Dreptele BCBC și AMAM se intersectează în punctul E,E, iar dreptele OEOE și CDCD se intersectează în punctul P.P.
(2p) a) Arată că aria dreptunghiului ABCDABCD este egală cu 270270 cm2.^2.
(3p) b) Arată că lungimea segmentului SPSP este egală cu 1010 cm, unde SS este punctul de intersecție a dreptelor AMAM și BD.BD.

Examen EN, 2023
Indicații (3) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: PP este centru de greutate al triunghiului ACE.ACE.

Indicația 2: SS este centru de greutate al triunghiului ACD.ACD.

Indicația 3: △MSP∼△MAC.\triangle MSP \sim \triangle MAC.

Răspuns: SABCD=270S_{ABCD} = 270 cm2.^2.

Soluție:

a) BC2=AC2−AB2⇒BC=310⇒SABCD=270BC^2 = AC^2-AB^2 \Rightarrow BC=3\sqrt{10} \Rightarrow S_{ABCD} = 270 cm2.^2.

b) PP este centru de greutate al triunghiului ACE⇒MPMC=13.ACE \Rightarrow \dfrac{MP}{MC}=\dfrac{1}{3}.

SS este centru de greutate al triunghiului ACD⇒MSMA=13.ACD \Rightarrow \dfrac{MS}{MA}=\dfrac{1}{3}.

Deci △MSP∼△MAC⇒SPAC=MSMA=13⇒SP=10 cm.\triangle MSP \sim \triangle MAC \Rightarrow \dfrac{SP}{AC}= \dfrac{MS}{MA} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \boxed{SP=10 \text{ cm}}.

Metoda 2:
△SMD∼△SAB⇒SMSA=MDAB=12\triangle SMD \sim \triangle SAB \Rightarrow \dfrac{SM}{SA} = \dfrac{MD}{AB} = \dfrac{1}{2}

△PMO∼△PCE⇒PMPC=OMEC=12\triangle PMO \sim \triangle PCE \Rightarrow \dfrac{PM}{PC} = \dfrac{OM}{EC} = \dfrac{1}{2}

De aici, continuarea este identică.

Nivel mediu

E.285. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O,O, în care CDCD este diametru. Punctul BB aparține cercului astfel încât dreptele BOBO și CDCD sunt perpendiculare. Punctul MM aparține arcului mic BC,BC, dreptele DMDM și BOBO se intersectează în punctul N, DN=2⋅MNN, ~DN = 2 \cdot MN și MN=4MN = 4 cm.
(2p) a) Arată că măsura unghiului CMDCMD este egală cu 90°.90\degree.
(3p) b) Calculează aria triunghiului DON.DON.

Examen EN, 2024
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: ND=8ND=8 și △DON∼△DMC.\triangle DON \sim \triangle DMC.

Răspuns: SDON=83.S_{DON}=8\sqrt{3}.

Soluție:


a) M^=CD⏠2=90°.\widehat{M}=\dfrac{\overgroup{CD}}{2}=90\degree.

b) Din MN=4MN = 4 și DN=2⋅MNDN = 2 \cdot MN rezultă DN=8.DN=8.
△DON∼△DMC (U.U.)⇒DODM=DNDC,\triangle DON \sim \triangle DMC ~(U.U.) \Rightarrow \dfrac{DO}{DM} = \dfrac{DN}{DC}, adică DO12=82⋅DO⇒DO=43.\dfrac{DO}{12} = \dfrac{8}{2 \cdot DO} \Rightarrow \boxed{DO=4\sqrt{3}}.
În triunghiul DNO, NO2=DN2−DO2⇒NO=4.DNO,~NO^2=DN^2-DO^2 \Rightarrow \boxed{NO=4}.
Deci SDON=83.\boxed{S_{DON}=8\sqrt{3}}.

Nume CreatLa (UTC)
Tema2: Recapitulare pentru testul inițial (geometrie) 21-09-2024 05:27
Tema2-Recapitulare pentru testul inițial (geometrie) 22-09-2024 14:16