Exercițiul 783

E.783. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCDABCD și punctele M∈DC, N∈BCM \in DC, ~N \in BC astfel încât MAD^≡BAN^.\widehat{MAD} \equiv \widehat{BAN}. Se consideră lungimile segmentelor: AB=9AB = 9 cm, BC=12BC = 12 cm și DM=4DM = 4 cm.
(2p) a) Demonstrează că BN=3BN = 3 cm.
(3p) b) Determină aria triunghiului AMN.AMN.

Evaluare inițială, Călărași, septembrie 2025
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: a) △ABN∼△ADM\triangle ABN \sim \triangle ADM (U.U.)

Indicația 2: b) Din aria dreptunghiului scădem "colțurile".

Răspuns: a) BN=3 cm;BN=3 \text{ cm};. b) AAMN=48 cm2.A_{AMN}=48 \text{ cm}^2.

Soluție:

a) △ABN∼△ADM\triangle ABN \sim \triangle ADM (U.U.) ⇒ABAD=BNDM⇒BN=9⋅412,\Rightarrow \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BN}{DM} \Rightarrow BN=\dfrac{9 \cdot 4}{12}, deci BN=3 cm.\boxed{BN=3 \text{ cm}}.

b) AAMN=AABCD−(AABN+ANCM+AMDA)=9⋅12−(9⋅32+9⋅52+12⋅42),A_{AMN} = A_{ABCD} - (A_{ABN} + A_{NCM} + A_{MDA}) = 9 \cdot 12 - \Big(\dfrac{9 \cdot 3}{2} + \dfrac{9 \cdot 5}{2} + \dfrac{12 \cdot 4}{2}\Big), deci AAMN=48 cm2.\boxed{A_{AMN}=48 \text{ cm}^2}.