Exercițiul 784

E.784. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O,O, cu diametrul AB=20AB = 20 cm. BCBC este tangentă la cerc, dreapta ACAC intersectează a doua oară cercul în P,P, iar AP=16AP = 16 cm.
(2p) a) Arată că aria cercului de diametru ABAB este egală cu 100π100 \pi cm2.^2.
(3p) b) Determină lungimea segmentului BC.BC.

Evaluare inițială, Călărași, septembrie 2025
Răspuns | Soluție

Răspuns: a): AC(O,AO)=100π cm2;A_{\mathcal{C}(O,AO)} = 100 \pi \text{ cm}^2; b) BC=15 cm.BC=15 \text{ cm}.

Soluție:

a): Aria cercului este π⋅r2,\pi \cdot r^2, deci AC(O,AO)=π⋅AO2,A_{\mathcal{C}(O,AO)} = \pi \cdot AO^2, adică AC(O,AO)=100π cm2.\boxed{A_{\mathcal{C}(O,AO)} = 100 \pi \text{ cm}^2}.

b): BCBC este tangentă la cerc ⇒ABC^=90°.\Rightarrow \widehat{ABC}=90\degree.
Arcul corespunzător unghiului APBAPB este chiar semicercul AB⇒APB^=90°.AB \Rightarrow \widehat{APB}=90\degree.
În triunghiul APB, BP2=AB2−AP2⇒BP=12 cm.APB,~ BP^2=AB^2-AP^2 \Rightarrow \boxed{BP=12 \text{ cm}.}
Din teorema înalțimii, BP2=AP⋅PC⇒PC=9 cm.BP^2=AP \cdot PC \Rightarrow \boxed{PC=9 \text{ cm}.}
Îm triunghiul BPC,BC2=BP2+PC2⇒BC=15 cm.BPC, BC^2=BP^2+PC^2 \Rightarrow \boxed{BC=15 \text{ cm}.}