Exercițiul 285

E.285. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O,O, în care CDCD este diametru. Punctul BB aparține cercului astfel încât dreptele BOBO și CDCD sunt perpendiculare. Punctul MM aparține arcului mic BC,BC, dreptele DMDM și BOBO se intersectează în punctul N, DN=2⋅MNN, ~DN = 2 \cdot MN și MN=4MN = 4 cm.
(2p) a) Arată că măsura unghiului CMDCMD este egală cu 90°.90\degree.
(3p) b) Calculează aria triunghiului DON.DON.

Examen EN, 2024
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: ND=8ND=8 și △DON∼△DMC.\triangle DON \sim \triangle DMC.

Răspuns: SDON=83.S_{DON}=8\sqrt{3}.

Soluție:


a) M^=CD⏠2=90°.\widehat{M}=\dfrac{\overgroup{CD}}{2}=90\degree.

b) Din MN=4MN = 4 și DN=2⋅MNDN = 2 \cdot MN rezultă DN=8.DN=8.
△DON∼△DMC (U.U.)⇒DODM=DNDC,\triangle DON \sim \triangle DMC ~(U.U.) \Rightarrow \dfrac{DO}{DM} = \dfrac{DN}{DC}, adică DO12=82⋅DO⇒DO=43.\dfrac{DO}{12} = \dfrac{8}{2 \cdot DO} \Rightarrow \boxed{DO=4\sqrt{3}}.
În triunghiul DNO, NO2=DN2−DO2⇒NO=4.DNO,~NO^2=DN^2-DO^2 \Rightarrow \boxed{NO=4}.
Deci SDON=83.\boxed{S_{DON}=8\sqrt{3}}.