Exercițiul 287

E.287. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCDABCD cu AB=910AB = 9\sqrt{10} cm și AC=30AC=30 cm. Dreptele ACAC și BDBD se intersectează în punctul O,O, iar punctul MM este mijlocul segmentului CD.CD. Dreptele BCBC și AMAM se intersectează în punctul E,E, iar dreptele OEOE și CDCD se intersectează în punctul P.P.
(2p) a) Arată că aria dreptunghiului ABCDABCD este egală cu 270270 cm2.^2.
(3p) b) Arată că lungimea segmentului SPSP este egală cu 1010 cm, unde SS este punctul de intersecție a dreptelor AMAM și BD.BD.

Examen EN, 2023
Indicații (3) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: PP este centru de greutate al triunghiului ACE.ACE.

Indicația 2: SS este centru de greutate al triunghiului ACD.ACD.

Indicația 3: △MSP∼△MAC.\triangle MSP \sim \triangle MAC.

Răspuns: SABCD=270S_{ABCD} = 270 cm2.^2.

Soluție:

a) BC2=AC2−AB2⇒BC=310⇒SABCD=270BC^2 = AC^2-AB^2 \Rightarrow BC=3\sqrt{10} \Rightarrow S_{ABCD} = 270 cm2.^2.

b) PP este centru de greutate al triunghiului ACE⇒MPMC=13.ACE \Rightarrow \dfrac{MP}{MC}=\dfrac{1}{3}.

SS este centru de greutate al triunghiului ACD⇒MSMA=13.ACD \Rightarrow \dfrac{MS}{MA}=\dfrac{1}{3}.

Deci △MSP∼△MAC⇒SPAC=MSMA=13⇒SP=10 cm.\triangle MSP \sim \triangle MAC \Rightarrow \dfrac{SP}{AC}= \dfrac{MS}{MA} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \boxed{SP=10 \text{ cm}}.

Metoda 2:
△SMD∼△SAB⇒SMSA=MDAB=12\triangle SMD \sim \triangle SAB \Rightarrow \dfrac{SM}{SA} = \dfrac{MD}{AB} = \dfrac{1}{2}

△PMO∼△PCE⇒PMPC=OMEC=12\triangle PMO \sim \triangle PCE \Rightarrow \dfrac{PM}{PC} = \dfrac{OM}{EC} = \dfrac{1}{2}

De aici, continuarea este identică.