Exercițiul 782

E.782. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC.ABC. Punctul DD este mijlocul segmentului BC,BC, punctul EE este mijlocul segmentului AC, AD⊥BE, AD∩BE={P}, BP=4AC, ~AD \perp BE, ~AD \cap BE=\{P\}, ~BP = 4 cm și DP=3DP = 3 cm.
(2p) a) Arată că lungimea segmentului BCBC este egală cu 1010 cm.
(3p) b) Arată că perimetrul patrulaterului DCEPDCEP este mai mare decât 1616 cm.

Evaluare inițială, Călărași, septembrie 2025
Soluție
Soluție:

a): În triunghiul BPD, BD2=BP2+PD2,BPD,~ BD^2=BP^2+PD^2, deci BD=5⇒DC=5⇒BC=10 cm.BD=5 \Rightarrow \boxed{DC=5} \Rightarrow \boxed{BC=10 \text{ cm}}.

b): ADAD mediană ⇒AP=2⋅PD⇒AP=6.\Rightarrow AP=2 \cdot PD \Rightarrow \boxed{AP=6}.
AEAE mediană ⇒PE=12⋅BP⇒PE=2.\Rightarrow PE=\dfrac{1}{2} \cdot BP \Rightarrow \boxed{PE=2}.
În triunghiul APE, AE2=AP2+PE2⇒AE=210⇒EC=210.APE,~ AE^2=AP^2+PE^2 \Rightarrow AE=2\sqrt{10} \Rightarrow \boxed{EC=2\sqrt{10}}.

PDCEP=DC+CE+EP+PD=5+210+2+3,P_{DCEP} = DC+CE+EP+PD = 5+2\sqrt{10} + 2+3, deci PDCEP=10+210.\boxed{P_{DCEP}= 10 + 2\sqrt{10}}.

Compar 10+21010 + 2\sqrt{10} cu 1616
2102\sqrt{10} cu 66
Prin ridicare la pătrat obțin 40>36⇒PDCEP>16.40 > 36 \Rightarrow\boxed{P_{DCEP} > 16}.