Exercițiul 286

E.286. În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCDABCD cu AB∥CDAB \parallel CD și BC=10BC =10 cm. Semidreapta BDBD este bisectoarea unghiului ABCABC și măsura unghiului ABDABD este egală cu 15°.15\degree.
(2p) a) Determină măsura unghiului BCDBCD.
(3p) b) Arată că AB−AD≤14AB - AD \leq 14 cm.

Examen EN, 2023
Soluție
Soluție:


a) B^=30°⇒C^=360−180−30,\widehat{B} = 30\degree \Rightarrow \widehat{C}= 360-180-30, deci C^=150°.\boxed{\widehat{C}=150\degree}.

b) Din DC∥AB⇒D1^=B1^,DC \parallel AB \Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{B_1}, deci CD=CB=10CD=CB=10 cm.
Construim CE⊥AB.CE \perp AB. Cum B^=30°⇒CE=AD=5 cm\widehat{B}=30\degree \Rightarrow \boxed{CE=AD=5 ~\text{cm}} și BE=53 cm.\boxed{BE=5\sqrt{3} ~cm}.
AB−AD=5+53.AB-AD = 5+5\sqrt{3}.
5+53<14⇔53<9⇔75<815+5\sqrt{3} <14 \Leftrightarrow 5\sqrt{3} < 9 \Leftrightarrow 75 < 81 (adevărat).