Exercițiul 284

E.284. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABCABC cu AB=AC.AB=AC. Înălțimea din vârful AA intersectează latura BCBC în punctul DD și AD=BC.AD=BC. Înălțimea din vârful BB intersectează latura ACAC în punctul E.E. Înălțimile ADAD și BEBE se intersectează în punctul H.H.
(2p) a) Arată că unghiurile DACDAC și EBCEBC au aceeași măsură.
(3p) b) Demonstrează că AH⋅HD=3.AH \cdot HD = 3.

Examen EN, 2024
Indicații (2) | Soluție

Indicația 1: a) Într-un triunghi, suma măsurilor unghiurilor este 90°.90\degree.

Indicația 2: b) △BHD∼△ACD\triangle BHD \sim \triangle ACD

Soluție:

a) A1^=90°−C^, B1^=90°−C^⇒A1^=B1^.\widehat{A_1}=90\degree - \widehat{C},~\widehat{B_1}=90\degree - \widehat{C} \Rightarrow \boxed{\widehat{A_1}=\widehat{B_1}}.

b) △BHD∼△ACD⇒HDCD=BDAD\triangle BHD \sim \triangle ACD \Rightarrow\dfrac{HD}{CD} = \dfrac{BD}{AD}

Cum CD=BD=BC2=AD2,CD=BD=\dfrac{BC}{2} = \dfrac{AD}{2}, egalitatea de mai sus devine HD=AD4,HD = \dfrac{AD}{4}, adică AH⋅HD=3.\boxed{AH \cdot HD = 3}.