Exercițiul 291

E.291. În triunghiul dreptunghic ABCABC, A^=90°,\widehat{A}=90\degree, se știe că AB+AC=3+26AB+AC=\sqrt{3}+2\sqrt{6} și tg⁡B=22.\tg{B}=2\sqrt{2}. Determimnați:
a) perimetrul triunghiului ABC;ABC;
b) lungimea razei cercului înscris în triunghiul ABC.ABC.

Art, Test evaluare finală cls.7, 13/145
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: a) Sistem de două ecuații cu două necunoscute.

Indicația 2: SABC=SAIB+SBIC+SCIAS_{ABC} = S_{AIB} + S_{BIC} + S_{CIA}

Răspuns: a) P=23(2+2);P=2\sqrt{3}(2+\sqrt{2}); b) r=6−3.r=\sqrt{6}-\sqrt{3}.

Soluție:

a)

bc=22b+c=3+26}⇒a=33, a=33, b=26, c=3, deci P=23(2+2). \begin{rcases} \dfrac{b}{c} = 2\sqrt{2} \\ b+c=\sqrt{3}+2\sqrt{6} \end{rcases} \Rightarrow \boxed{a=3\sqrt{3}},~ \boxed{a=3\sqrt{3}}, ~\boxed{b=2\sqrt{6}}, ~\boxed{c=\sqrt{3}}, \text{ deci } \boxed{P=2\sqrt{3}(2+\sqrt{2})}.
b) SABC=SAIB+SBIC+SCIA.S_{ABC} = S_{AIB} + S_{BIC} + S_{CIA}.

b⋅c2=r2(a+b+c)⇒r=6−3.\dfrac{b \cdot c}{2} = \dfrac{r}{2}(a+b+c) \Rightarrow \boxed{r=\sqrt{6}-\sqrt{3}}.