Probleme cu drumul minim

Notăm $VA=VB=VC=m$ și $AB=BC=CA=e.$
Desfășurăm fețele $VBC$ și $BCA$ astfel încât să formeze un singur plan (fig.$2$).
Distanța $VM+MA$ este minimă când $M$ se află pe segmentul $VA.$
$\triangle BVA \equiv \triangle CVA$ (L.L.L) $\Rightarrow \widehat{BVA} \equiv \widehat{CVA} \Rightarrow VM$ bisectoare în triunghiul isoscel $BVC \Rightarrow \boxed{BM=MC}.$

În triunghiul dreptunghic $VMB,~ \boxed{VM^2=m^2-\dfrac{e^2}{4}}.$
$AM$ este înălțime în triunghiul echilateral $ABC \Rightarrow \boxed{AM^2=\dfrac{3e^2}{4}}.$

În triunghiul dreptunghic $AVM \text{ (fig.1)}, AM^2=AV^2+VM^2$
$\dfrac{3e^2}{4}=m^2 + (m^2-\dfrac{e^2}{4}).$
$3e^2=8m^2-e^2 \Rightarrow \boxed{e^2=2m^2}.$
În toate cele trei triunghiuri laterale avem relația $m^2+m^2=e^2,$ deci triunghiurile sunt dreptunghice în $V.$

a) În pătratul $ABCD,~ BD=24\sqrt{2} \Rightarrow \boxed{BO=12\sqrt{2}}.$
În triunghiul dreptunghic $VOB,~ VB^2=4^2 \cdot 3^2 \cdot 2 + 4^2 \cdot 7 = 4^2 \cdot 5^2 \Rightarrow \boxed{VB=20 \text{ cm}}.$

b) Desfășurăm fețele $ABCD$ și $VAD$ astfel încât să formeze un singur plan (fig.$2$).
Distanța $BE+EF$ este minimă când $E$ se află pe segmentul $BF.$
Construim $VM \perp AD$ și $FN \perp AD$
În triunghiul dreptunghic $VMA, AM=4\cdot 3,~VA=4\cdot 5 \Rightarrow \boxed{VM=16 \text{ cm}}.$
În triunghiul dreptunghic $VMD, FN$ este linie mijlocie $\Rightarrow \boxed{FN=8 \text{ cm}}.$
$MN=ND \Rightarrow ND=6 \Rightarrow \boxed{AN=18 \text{ cm}}.$

$FN \parallel AB\Rightarrow \triangle AEB \sim\triangle NEF \Rightarrow \dfrac{AE}{NE} = \dfrac{AB}{NF}.$

$\dfrac{AE}{NE+AE} = \dfrac{AB}{NF+AB} \Leftrightarrow \dfrac{AE}{18} = \dfrac{24}{32} \Rightarrow \boxed{AE = 13.5 \text{ cm}}.$

a) $A'C$ și $AC'$ sunt diagonale în dreptunghiul $ACC'A' \Rightarrow A'C = AC' \Rightarrow \boxed{A'C^2=10000}.$
În triunghiul dreptunghic $A'AB, ~A'B^2=AA'^2 + AB^2 = 60^2+64^2,$ deci $\boxed{A'B^2 = 7696}.$
$BC=48 \Rightarrow \boxed{BC^2=2304}.$
Deoarece $A'C^2=A'B^2+BC^2 \overset{R.T.P.}{\Rightarrow} \boxed{\triangle A'BC \text{ dreptunghic}}.$

b) Desfășurăm fețele $A'ABB'$ și $B'BCC'$ pentru a forma dreptunghiul $ACC'A'$ (fig.2).
Valoarea minimă a perimetrului triunghiului $A'MC$ se obține atunci când suma $A'M + MC$ este minimă. Acest lucru se întâmplă atunci când $M$ se află pe diagonala $A'C.$
Așadar, $A'M + MC \geq A'C = \sqrt{A'A^2+AC^2} = \sqrt{60^2 + 112^2} = \sqrt{4^2\cdot 15^2 + 4^2 \cdot 28^2} = 4\sqrt{1009}.$
Vom arăta că $4\sqrt{1249} + 100 > 227.$
$4^2 \cdot 1009 > 127^2$
$16144 > 16129$ - adevărat. În concluzie, $\boxed{P_{A'MC} > 227}.$

a) Cubul are $12$ muchii, deci latura cubului este $120:12,$ adică $\boxed{AB=10 \text{ cm}},$ iar diagonala unei fețe este $\boxed{A'B=10\sqrt{2}\text{ cm}}.$
$\triangle{A'BC}$ echilateral ($A'B,~BC', ~C'A$ diagonale ale cubului) $\Rightarrow A_{A'BC'} = \dfrac{A'B^2 \sqrt{3}}{4},$ adică $\boxed{A_{A'BC'} = 50\sqrt{3} \text{ cm}^2}.$

b) Desfășurăm fețele $A'ABB',~B'BCC'$ și $C'CCDD'$ pentru a forma dreptunghiul $ADD'A'$ (fig.2).
Valoarea minimă a sumei $AS + ST + TM$ se obține atunci când punctele $S$ și $T$ sunt pe segmentul $AM.$
Așadar, $AS + ST + TM \geq AM = \sqrt{AD^2+DM^2} = \sqrt{5^2\cdot6^2+5^2} = 5 \sqrt{37}.$
Vom arăta că $5 \sqrt{37} > 30.$
$\sqrt{37} > 6$
$37>36$ - adevărat. În concluzie, $\boxed{AS + ST + TM > 36}.$

a) În triunghiul isoscel $VAB, ~\widehat{AVB}=180\degree-2 \cdot 70\degree,$ deci $\boxed{\widehat{AVB}=40\degree}.$

b) Desfășurăm fețele $AVB,~BVC$ și $CVD$ astfel încât să formeze un singur plan (fig.$2$).
Distanța $AE+EF+FD$ este minimă când punctele $A,E,F$ și $D$ sunt coliniare.

În triunghiul isoscel $AVD$ avem $\widehat{AVD}=3 \cdot 40\degree = 120\degree \Rightarrow \boxed{\widehat{D}=30\degree}.$
Construim $VM$ ca înalțime și mediană în triunghiul isoscel $AVD.$
În triunghiul $VDM,~ \cos30\degree = \dfrac{DM}{12} \Rightarrow DM=6\sqrt{3} \Rightarrow \boxed{AD=12\sqrt{3}}.$