Probleme de optimizare (drum minim)

E.513. O furnică urcă cele două trepte reprezentate în desenul de mai jos. Ea pornește din punctul $A$ și ajunge în punctul $B,$ parcurgând cel mai scurt drum. Dacă fiecare treaptă are $30$ cm lungime, $10$ cm lățime și $10$ cm înălțime, aflați distanța parcursă de furnică.

E.514. În piramida $VABC$ cu toate muchiile congruente, de lungime $10$ cm, se notează cu $0$ centrul cercului circumscris bazei $ABC$ și cu $M$ mijlocul muchiei $VC.$ Determinați poziția unui punct $P \in AC,$ astfel încât suma $OP+PM$ să fie minimă.

E.515. Fie $VABCD$ o piramidă cu baza un pătrat de latură $12$ cm și muchiile laterale congruente, având lungimea de $10$ cm. Fie $M$ mijlocul muchiei $VC.$ Determinați poziția unui punct $P \in DC,$ astfel încât suma $AP+PM$ să fie minimă.

E.516. Fie un cub $ABCDA'B'C'D'$ cu $AB=3$ cm. Determinați pozițiile punctelor $M \in BB'$ și $N \in CC',$ astfel încât suma $AM+MN+ND'$ sa fie minimă.

E.517. Pe muchia $AA'$ a unui cub $ABCDA'B'C'D'$ se consideră punctul $M,$ astfel încât suma $BM+MD'$ să fie minimă. Determinați lungimea muchiei cubului, știind că $BM+MD'=20$ cm.

E.518. Pe muchia laterală $VA$ a piramidei triunghiulare regulate $VABC$, cu vârful $V,$ se consideră un punct $M$ cu proprietatea că suma $MB+MC$ este minimă. Arătați că dreptele $CM$ și $VA$ sunt perpendiculare.

E.519. Fie piramida regulată $VABC,$ cu vârful $V,$ și punctul $M$ pe muchia $BC,$ astfel încât suma $VM+MA$ să fie minimă. Dacă $\measuredangle{AVM}=90\degree,$ arătați că $\measuredangle{AVB} = \measuredangle{BVC} = \measuredangle{CVA} = 90\degree.$