Exercițiul 519

E.519. Fie piramida regulată VABC,VABC, cu vârful V,V, și punctul MM pe muchia BC,BC, astfel încât suma VM+MAVM+MA să fie minimă. Dacă ∡AVM=90°,\measuredangle{AVM}=90\degree, arătați că ∡AVB=∡BVC=∡CVA=90°.\measuredangle{AVB} = \measuredangle{BVC} = \measuredangle{CVA} = 90\degree.

Art, 29/107, ****
Indicații (1) | Soluție

Indicații: Desfășurăm triunghiurile ABCABC și VBC.VBC. Suma VM+MAVM+MA este minimă când MM este mijlocul lui BC.BC.

Soluție:


Notăm VA=VB=VC=mVA=VB=VC=m și AB=BC=CA=e.AB=BC=CA=e.
Desfășurăm fețele VBCVBC și BCABCA astfel încât să formeze un singur plan (fig.22).
Distanța VM+MAVM+MA este minimă când MM se află pe segmentul VA.VA.
△BVA≡△CVA\triangle BVA \equiv \triangle CVA (L.L.L) ⇒BVA^≡CVA^⇒VM\Rightarrow \widehat{BVA} \equiv \widehat{CVA} \Rightarrow VM bisectoare în triunghiul isoscel BVC⇒BM=MC.BVC \Rightarrow \boxed{BM=MC}.

În triunghiul dreptunghic VMB, VM2=m2−e24.VMB,~ \boxed{VM^2=m^2-\dfrac{e^2}{4}}.
AMAM este înălțime în triunghiul echilateral ABC⇒AM2=3e24.ABC \Rightarrow \boxed{AM^2=\dfrac{3e^2}{4}}.

În triunghiul dreptunghic AVM (fig.1),AM2=AV2+VM2AVM \text{ (fig.1)}, AM^2=AV^2+VM^2
3e24=m2+(m2−e24).\dfrac{3e^2}{4}=m^2 + (m^2-\dfrac{e^2}{4}).
3e2=8m2−e2⇒e2=2m2.3e^2=8m^2-e^2 \Rightarrow \boxed{e^2=2m^2}.
În toate cele trei triunghiuri laterale avem relația m2+m2=e2,m^2+m^2=e^2, deci triunghiurile sunt dreptunghice în V.V.