Exercițiul 801

E.801. În piramida patrulateră regulată VABCDVABCD avem VA=12VA=12 cm și ∡VAB=70°\measuredangle{VAB}=70\degree. Pe muchia VBVB se consideră punctul EE, iar pe muchia VCVC se consideră punctul F.F.
2p a) Calculați măsura unghiului AVB.AVB. \quad
3p b) Să se determine cea mai mică valoare a sumei AE+EF+FD.AE+EF+FD.

Simulare ISJ Maramureș, ian. 2023
Soluție
Soluție:


a) În triunghiul isoscel VAB, AVB^=180°−2⋅70°,VAB, ~\widehat{AVB}=180\degree-2 \cdot 70\degree, deci AVB^=40°.\boxed{\widehat{AVB}=40\degree}.

b) Desfășurăm fețele AVB, BVCAVB,~BVC și CVDCVD astfel încât să formeze un singur plan (fig.22).
Distanța AE+EF+FDAE+EF+FD este minimă când punctele A,E,FA,E,F și DD sunt coliniare.

În triunghiul isoscel AVDAVD avem AVD^=3⋅40°=120°⇒D^=30°.\widehat{AVD}=3 \cdot 40\degree = 120\degree \Rightarrow \boxed{\widehat{D}=30\degree}.
Construim VMVM ca înalțime și mediană în triunghiul isoscel AVD.AVD.
În triunghiul VDM, cos⁡30°=DM12⇒DM=63⇒AD=123.VDM,~ \cos30\degree = \dfrac{DM}{12} \Rightarrow DM=6\sqrt{3} \Rightarrow \boxed{AD=12\sqrt{3}}.