Exercițiul 799

E.799. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′,ABCDA'B'C'D', cu diagonala AC′AC' de 100100 cm, avem AB=64AB = 64 cm, BC=48BC = 48 cm, AA′=60AA' = 60 cm, iar MM este un punct pe muchia BB′.BB'.
(2p) a) Arătați că triunghiul A′BCA'BC este dreptunghic;
(3p) b) Arătați că valoarea perimetrului triunghiului A′MCA'MC nu poate fi mai mică de 227227 cm.

Simulare ISJ Maramureș, nov. 2024
Soluție
Soluție:


a) A′CA'C și AC′AC' sunt diagonale în dreptunghiul ACC′A′⇒A′C=AC′⇒A′C2=10000.ACC'A' \Rightarrow A'C = AC' \Rightarrow \boxed{A'C^2=10000}.
În triunghiul dreptunghic A′AB, A′B2=AA′2+AB2=602+642,A'AB, ~A'B^2=AA'^2 + AB^2 = 60^2+64^2, deci A′B2=7696.\boxed{A'B^2 = 7696}.
BC=48⇒BC2=2304.BC=48 \Rightarrow \boxed{BC^2=2304}.
Deoarece A′C2=A′B2+BC2⇒R.T.P.△A′BC dreptunghic.A'C^2=A'B^2+BC^2 \overset{R.T.P.}{\Rightarrow} \boxed{\triangle A'BC \text{ dreptunghic}}.

b) Desfășurăm fețele A′ABB′A'ABB' și B′BCC′B'BCC' pentru a forma dreptunghiul ACC′A′ACC'A' (fig.2).
Valoarea minimă a perimetrului triunghiului A′MCA'MC se obține atunci când suma A′M+MCA'M + MC este minimă. Acest lucru se întâmplă atunci când MM se află pe diagonala A′C.A'C.
Așadar, A′M+MC≥A′C=A′A2+AC2=602+1122=42⋅152+42⋅282=41009.A'M + MC \geq A'C = \sqrt{A'A^2+AC^2} = \sqrt{60^2 + 112^2} = \sqrt{4^2\cdot 15^2 + 4^2 \cdot 28^2} = 4\sqrt{1009}.
Vom arăta că 41249+100>227.4\sqrt{1249} + 100 > 227.
42⋅1009>12724^2 \cdot 1009 > 127^2
16144>1612916144 > 16129 - adevărat. În concluzie, PA′MC>227.\boxed{P_{A'MC} > 227}.