Exercițiul 800

E.800. Fie cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' astfel încât suma tuturor muchiilor este egală cu 120120 cm.
2p a) Arătați că aria △A′BC′\triangle{A'BC'} este egală cu 50350\sqrt{3} cm².^².
3p b) Fie S∈(BB′), T∈(CC′)S \in (BB'),~ T \in (CC') şi MM este mijlocul muchiei DD′.DD'. Arătați că valoarea minimă a sumei AS+ST+TMAS + ST + TM este mai mare decât 3030 cm.

Simulare ICHB București, oct. 2022
Soluție
Soluție:


a) Cubul are 1212 muchii, deci latura cubului este 120:12,120:12, adică AB=10 cm,\boxed{AB=10 \text{ cm}}, iar diagonala unei fețe este A′B=102 cm.\boxed{A'B=10\sqrt{2}\text{ cm}}.
△A′BC\triangle{A'BC} echilateral (A′B, BC′, C′AA'B,~BC', ~C'A diagonale ale cubului) ⇒AA′BC′=A′B234,\Rightarrow A_{A'BC'} = \dfrac{A'B^2 \sqrt{3}}{4}, adică AA′BC′=503 cm2.\boxed{A_{A'BC'} = 50\sqrt{3} \text{ cm}^2}.

b) Desfășurăm fețele A′ABB′, B′BCC′A'ABB',~B'BCC' și C′CCDD′C'CCDD' pentru a forma dreptunghiul ADD′A′ADD'A' (fig.2).
Valoarea minimă a sumei AS+ST+TMAS + ST + TM se obține atunci când punctele SS și TT sunt pe segmentul AM.AM.
Așadar, AS+ST+TM≥AM=AD2+DM2=52⋅62+52=537.AS + ST + TM \geq AM = \sqrt{AD^2+DM^2} = \sqrt{5^2\cdot6^2+5^2} = 5 \sqrt{37}.
Vom arăta că 537>30.5 \sqrt{37} > 30.
37>6\sqrt{37} > 6
37>3637>36 - adevărat. În concluzie, AS+ST+TM>36.\boxed{AS + ST + TM > 36}.