Exercițiul 798

E.798. În figura alăturată este reprezentată o piramidă regulată VABCDVABCD cu baza pătratul ABCD, AB=24ABCD,~ AB=24 cm, VO=47VO = 4\sqrt{7} cm, unde OO este punctul de intersecție a dreptelor ACAC şi BD.BD.
(2p) a) Arată că suma lungimilor muchiilor laterale este egală cu 8080 cm.
(3p) b) Dacă FF este mijlocul segmentului VD,VD, determină poziția punctului E∈ADE \in AD astfel încât suma BE+EFBE+EF să fie minimă.

Simulare CN "Carol I", Craiova, oct. 2023
Simulare ISJ Buzău, nov. 2024
Soluție
Soluție:


a) În pătratul ABCD, BD=242⇒BO=122.ABCD,~ BD=24\sqrt{2} \Rightarrow \boxed{BO=12\sqrt{2}}.
În triunghiul dreptunghic VOB, VB2=42⋅32⋅2+42⋅7=42⋅52⇒VB=20 cm.VOB,~ VB^2=4^2 \cdot 3^2 \cdot 2 + 4^2 \cdot 7 = 4^2 \cdot 5^2 \Rightarrow \boxed{VB=20 \text{ cm}}.

b) Desfășurăm fețele ABCDABCD și VADVAD astfel încât să formeze un singur plan (fig.22).
Distanța BE+EFBE+EF este minimă când EE se află pe segmentul BF.BF.
Construim VM⊥ADVM \perp AD și FN⊥ADFN \perp AD
În triunghiul dreptunghic VMA,AM=4⋅3, VA=4⋅5⇒VM=16 cm.VMA, AM=4\cdot 3,~VA=4\cdot 5 \Rightarrow \boxed{VM=16 \text{ cm}}.
În triunghiul dreptunghic VMD,FNVMD, FN este linie mijlocie ⇒FN=8 cm.\Rightarrow \boxed{FN=8 \text{ cm}}.
MN=ND⇒ND=6⇒AN=18 cm.MN=ND \Rightarrow ND=6 \Rightarrow \boxed{AN=18 \text{ cm}}.

FN∥AB⇒△AEB∼△NEF⇒AENE=ABNF.FN \parallel AB\Rightarrow \triangle AEB \sim\triangle NEF \Rightarrow \dfrac{AE}{NE} = \dfrac{AB}{NF}.

AENE+AE=ABNF+AB⇔AE18=2432⇒AE=13.5 cm.\dfrac{AE}{NE+AE} = \dfrac{AB}{NF+AB} \Leftrightarrow \dfrac{AE}{18} = \dfrac{24}{32} \Rightarrow \boxed{AE = 13.5 \text{ cm}}.