Problema 1. În paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D',$ cu diagonala $AC'$ de $100$ cm, avem $AB = 64$ cm, $BC = 48$ cm, $AA' = 60$ cm, iar $M$ este un punct pe muchia $BB'.$
(2p) a) Arătați că triunghiul $A'BC$ este dreptunghic;
(3p) b) Arătați că valoarea perimetrului triunghiului $A'MC$ nu poate fi mai mică de $227$ cm.

Problema 2. Fie cubul $ABCDA'B'C'D'$ astfel încât suma tuturor muchiilor este egală cu $120$ cm.
2p a) Arătați că aria $\triangle{A'BC'}$ este egală cu $50\sqrt{3}$ cm$^².$
3p b) Fie $S \in (BB'),~ T \in (CC')$ şi $M$ este mijlocul muchiei $DD'.$ Arătați că valoarea minimă a sumei $AS + ST + TM$ este mai mare decât $30$ cm.

Problema 3. În figura alăturată este reprezentată o piramidă regulată $VABCD$ cu baza pătratul $ABCD,~ AB=24$ cm, $VO = 4\sqrt{7}$ cm, unde $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ şi $BD.$
(2p) a) Arată că suma lungimilor muchiilor laterale este egală cu $80$ cm.
(3p) b) Dacă $F$ este mijlocul segmentului $VD,$ determină poziția punctului $E \in AD$ astfel încât suma $BE+EF$ să fie minimă.

Problema 4. În piramida patrulateră regulată $VABCD$ avem $VA=12$ cm și $\measuredangle{VAB}=70\degree$. Pe muchia $VB$ se consideră punctul $E$, iar pe muchia $VC$ se consideră punctul $F.$
2p a) Calculați măsura unghiului $AVB. \quad$
3p b) Să se determine cea mai mică valoare a sumei $AE+EF+FD.$

Problema 5. Fie piramida regulată $VABC,$ cu vârful $V,$ și punctul $M$ pe muchia $BC,$ astfel încât suma $VM+MA$ să fie minimă. Dacă $\measuredangle{AVM}=90\degree,$ arătați că $\measuredangle{AVB} = \measuredangle{BVC} = \measuredangle{CVA} = 90\degree.$