Adunarea și scăderea numerelor naturale

$4a+8b+3c = (2a+3b) + (2a+3b)+(2b+3c) = 13+13+19 = 45.$

$4a − b + 5c = 2(3a + b + 2c) - (2a + 3b − c = 11) = 2 \cdot 27 - 11 = 43.$

$4a + 13b + 7c = (2a + 5b) + (2a + 5b) + (3b + 7c) = 29 + 29 + 85 = 143.$

$11a+13b = (5a+4b) + 3 \cdot (2a+3b) = 95 + 3 \cdot 45 = 230.$

Pentru ca un număr să fie cât mai mic, trebuie ca el sa aibă cât mai puține cifre $\Rightarrow$ trebuie să avem cât mai mulți de $9.$ Deci o primă încercare ar fi $9999.$
Dar $4 \cdot 9 = 36,$ deci ne mai lipsește un $2.$ Cum numărul trebuie să fie cât mai mic, vom adăuga acel $2$ la început.

Așadar, numărul cerut este $29999.$

Pentru ca un număr să fie cât mai mic, trebuie ca el sa aibă cât mai puține cifre $\Rightarrow$ trebuie să avem cât mai mulți de $9.$ Deci o primă încercare ar fi $99994.$

În continuare, pentru a face numărul și mai mic, punem pe prima poziție cea mai mică cifră posibilă. Deci la a 2-a încercare obținem $49999.$

Mai avem de îndeplinit condiția ca numărul dat să fie par, iar de aici obținem că cel mai mic număr par cu suma cifrelor $40$ este $59998.$

Așadar răspunsul cerut este $59998 + 40 = 60038.$

• Cel mai mic număr de patru cifre distincte este $1023.$
• Cel mai mare număr par de 3 cifre este $998.$

Răspuns: $1023 - 998 = 25.$

Cel mai mic număr impar de $4$ cifre este $1001.$ Cum nu putem folosi cifrele $0$ și $1$ obținem $\boxed{a=2223};$
Cel mai mare număr par de $3$ cifre distincte este $986.$ Cum nu putem folosi cifrele $8$ și $9$ obținem $\boxed{b=764}.$

$a+b = 2223 + 764 = 2987.$

Șirul dat este format din numerele: $a, a+2$ și $a+4,$ unde a este un număr par.
Din $a+ a+2 + a+4 = 36$ obținem $3 \cdot a = 30,$ adică $a=10.$ Triplul acestui număr este $30.$

Șirul dat este format din numerele: $a, a+2$ și $a+4,$ unde a este un număr par.
Din $a+ a+2 + a+4 = 600$ obținem $3 \cdot a = 594,$ adică $a=198.$ Deci numerele noastre sunt $198$, $200$ și $202,$ iar diferența cerută este $202-198=4.$

Observație: Nu era nevoie să aflăm numerele. Diferența cerută este $(a+4)-a=4$ și nu depinde de suma numerelor.

Șirul dat este de forma: $a, a+2, a+4, a+6, \ldots,$ unde a este un număr impar.
Din $a+ a+2 + a+4 = 21$ obținem $3 \cdot a = 15,$ adică $\boxed{a=5}.$ În acest caz, șirul devine:

• $5 = 5 + 2 \cdot \boxed{0} \Rightarrow$ termenul $1;$
• $7 = 5 + 2 \cdot \boxed{1} \Rightarrow$ termenul $2;$
• $9 = 5 + 2 \cdot \boxed{2} \Rightarrow$ termenul $3;$
• ...
• $41 = 5 + 2 \cdot \boxed{18}.$

Conform regulii de mai sus rezultă că $41$ este al $19$-lea termen din șir.
Cum termenul $19$ este la mijloc și înaintea lui sunt $18$ termeni, înseamnă că după el vor fi tot $18$ termeni. Deci șirul are $19+18=37$ termeni.

Urmărind regula de mai sus, al $37$-lea termen (adică ultimul) va fi $5 + 2 \cdot 36 = 77.$

Șirul nostru este $a, a+1, a+2, \ldots, a+2016.$
Dacă șirul are $2017$ termeni, atunci în mjloc vom avea termenul $(2017+1):2=1009,$ iar termenului $1009$ îi corespunde valoare $a+1008.$

$a+1008 = 2018 \Rightarrow \boxed{a=1010}.$
Deci primul termen este $1010,$ iar ultimul este $1010 +2016 = 3026.$

Șirul dat este de forma: $a, a+2, a+4, \ldots, a+n,$ unde $a$ și $n$ sunt numere pare.
Dacă ultimul termen este $a+n,$ atunci penultimul termen va fi cu $2$ mai mic, adică $a+n-2.$

Scăzând ultimele două relații obținem $\boxed{a=6}.$ Deci al treilea termen este $10.$

$1+2+3+ \ldots + 21 = (20 \cdot 21): 2 = 210.$
Numărul căutat este chiar diferența de la $210$ la $219,$ adică $9.$