Exercițiul 397

E.397. Într-o secvență (șir) de numere impare consecutive suma primilor trei termeni este 21, iar termenul din mijloc este 41. Care este ultimul termen?

Admite Loga, 2023
Răspuns | Soluție

Răspuns: 77.77.

Soluție:

Șirul dat este de forma: a,a+2,a+4,a+6,…,a, a+2, a+4, a+6, \ldots, unde a este un număr impar.
Din a+a+2+a+4=21a+ a+2 + a+4 = 21 obținem 3⋅a=15,3 \cdot a = 15, adică a=5.\boxed{a=5}. În acest caz, șirul devine:

  • 5=5+2⋅0⇒5 = 5 + 2 \cdot \boxed{0} \Rightarrow termenul 1;1;
  • 7=5+2⋅1⇒7 = 5 + 2 \cdot \boxed{1} \Rightarrow termenul 2;2;
  • 9=5+2⋅2⇒9 = 5 + 2 \cdot \boxed{2} \Rightarrow termenul 3;3;
  • ...
  • 41=5+2⋅18.41 = 5 + 2 \cdot \boxed{18}.

Conform regulii de mai sus rezultă că 4141 este al 1919-lea termen din șir.
Cum termenul 1919 este la mijloc și înaintea lui sunt 1818 termeni, înseamnă că după el vor fi tot 1818 termeni. Deci șirul are 19+18=3719+18=37 termeni.

Urmărind regula de mai sus, al 3737-lea termen (adică ultimul) va fi 5+2⋅36=77.5 + 2 \cdot 36 = 77.