Înmulțirea și împărțirea numerelor naturale. Factor comun.
Nivel introductiv
E.405. Calculați diferența dintre cel mai mare număr natural de patru cifre distincte, care are produsul cifrelor număr impar și cel mai mic număr de patru cifre care are produsul cifrelor număr par.
Pentru ca produsul cifrelor să fie un număr impar trebuie ca toate cifrele sa fie numere impare ⇒9753.
Pentru ca produsul cifrelor să fie un număr par trebuie ca cel puțin o cifră sa fie număr par ⇒1000.
Diferența cerută este 9753−1000=8753.
E.406. Calculați suma a 50 de numere naturale care au produsul egal cu 17.
Cum 17 se împarte exact doar la 1 și la el însuși, înseamnă că singurele numere care satisfac condiția din enunț sunt 17,49 dee 11,1,1…1, iar suma lor este 17+49⋅1=66.
E.410. Câte numere abc există astfel încât a⋅b⋅c=4?
E.430. Andrei își păstrează colecția de timbre în cutii. El are 5 cutii verzi mari. În fiecare din aceste cutii sunt câte 6 cutii albastre, iar în fiecare cutie albastră sunt câte 3 cutii galbene. Câte cutii folosește în total Andrei?
Suma primelor 8 numere naturale este 0+1+2+…+7=7⋅8:2=28.
Prin urmare, singurele numere care satisfac condiția din enunț sunt 0,1,2,…,7, iar produsul acestor numere este 0.
E.433. În câte zerouri se termină produsul primelor 129 de numere naturale nenule?
Observăm că, începând cu al 5-lea termen, fiecare termen conține în descompunerea sa cel pun câte un 5 și un 2, adică are ultima cifră 0.
Prin urmare, ultima cifră a numărului dat este: Uc(n)=Uc(1+1⋅2+1⋅2⋅3+1⋅2⋅3⋅4)=Uc(1+2+6+24)=3.
E.435. a) Dacă două numere naturale au suma egală cu 11, aflați valoarea maximă a produsului lor.
b) Dacă două numere naturale au produsul egal cu 36, aflați valoarea maximă a sumei lor.