Tehnici de numărare

• de la pagina $1$ la pagina $9$ sunt $9$ pagini $\Rightarrow9$ cifre;
• de la pagina $10$ la pagina $99$ sunt $99-10+1=90$ pagini $\Rightarrow90 \cdot 2=180$ cifre;
• de la pagina $100$ la pagina $432$ sunt $432-100+1=333$ pagini $\Rightarrow333 \cdot 2=999$ cifre.

În total s-au folosit $9 + 180 + 999=1188$ cifre.

Adunăm și scădem șirul $4,8,12, \ldots, 100.$

• șirul $1,2,3,4,5,\ldots,101$ are $101$ termeni.
• șirul $4,8,12, \ldots, 100$ are $(100-4):4+1=25$ termeni.

Deci șirul nostru are $101-25 = 76$ tereni.

Observație: Numărul de termeni din al doilea șir poate fi calculat și cu metoda contorului:
Șirul $4,8,12, \ldots, 100$ se poate scrie:
$(4 \cdot \boxed{0} +4), (4 \cdot \cdot \boxed{1} +4), (4 \cdot \cdot \boxed{2} +4), \ldots, (4 \cdot \cdot \boxed{24} +4). \Rightarrow 25$ termeni.

Problema se reduce la a stabili câte combinații se pot face prin alipirea numerelor $41$, $32$ și $5.$

• $41,32,5 \Rightarrow 41325;$
• $41,5,32 \Rightarrow 41532;$
• $32,41,5 \Rightarrow 32415;$
• $32,5,41 \Rightarrow 32541;$
• $5, 41,32 \Rightarrow 54132;$
• $5, 32, 41 \Rightarrow 53241;$

În total putem forma $6$ numere.

Numerele căutate sunt de forma $\overline{abcd},$ unde:

• pentru $a$ avem o singură posibilitate (cifra $1$);
• pentru $b$ avem 10 posibilități (cifrele de la $0$ la $10$);
• pentru $c$ avem 10 posibilități (cifrele de la $0$ la $10$);
• pentru $d$ avem o singură posibilitate (cifra $1$);

Folosind regula produsului obținem $1 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 1 = 100$ numere.

Problema se reduce la a găsit toate numerele de $3$ cifre care au suma cifrelor $4$ (inclusiv numerele cu prima cifră $0$):

• numere care încep cu $4$: $400 \Rightarrow$ un număr;
• numere care încep cu $3$: $310, 301 \Rightarrow$ 2 numere;
• numere care încep cu $2$: $220, 211, 202 \Rightarrow$ 3 numere;
• numere care încep cu $1$: $130, 121, 112, 103 \Rightarrow$ 4 numere;
• numere care încep cu $0$: $040, 031, 022, 013, 004 \Rightarrow$ 5 numere;

În total, $1+2+3+4+5=15$ numere.

Observație: Pentru a nu rata unele numere, avem nevoie de un plan. În cazul de față, numerele de pe fiecare linie au cifra din mijloc în ordine descrescătoare, deci ultima cifră va fi în ordine crescătoare.

Numerele cresc din $6$ în $6$ și încep cu $1$, deci sunt de forma $6k+1,$ unde $k=0,1,2,\ldots$

• termenul $1 \Rightarrow 6 \cdot \boxed{0} + 1;$
• termenul $2 \Rightarrow 6 \cdot \boxed{1} + 1;$
• termenul $3 \Rightarrow 6 \cdot \boxed{2} + 1;$
• ...

Observând regula, punem spune că termenul 100 este $6 \cdot \boxed{99} + 1,$ adică $595.$