Teorema împărțirii cu rest

Teorema împărțirii cu rest

Folosind schema de împărțire a două numere naturale observăm că, prin împărțirea unui număr (DD) la un număr (I,I≠0I, I\not=0) obținem alte două numere naturale, unic determinate: câtul (CC) și restul (RR).
Teorema împărțirii cu rest (TIR) ne oferă relația dintre aceste patru numere:

D=I⋅C+R,unde 0≤R<ID,I,C,R numere naturale,I≠0D−deıˆmpa˘rțitul;I−impa˘rțitorul;C−caˆtul;R−restul. \begin{aligned} &\boxed{D = I \cdot C + R, \text{unde} \space 0 \leq R \lt I} \\ &D, I, C, R \space \bold{numere \space naturale}, I\not=0 \\ &D - \text{deîmpărțitul}; I- \text{impărțitorul}; C - \text{câtul}; R - \text{restul}. \end{aligned}

Exemplu:
Folosind algoritmul împărțirii a două numere naturale, obținem:

23:4⇒caˆtul 5 și restul 3 23 : 4 \Rightarrow \text{câtul} \space 5 \space \text{și restul} \space 3

Aplicând teorema de mai sus, acest lucru se mai poate scrie astfel:

23=4⋅5+3 23 = 4 \cdot 5 + 3

Remarcăm faptul că este îndeplinită condiția ca restul (33) să fie mai mic decât împărțitorul (44).

Nivel introductiv

E.486. Care este cel mai mic număr natural care dă restul egal cu 66 la împărțirea cu 8?8?

Admitere Loga, model 2024
Răspuns | Soluție

Răspuns: 6.6.

Soluție:

Din TIR avem D=8⋅C+6.D=8 \cdot C + 6.
DD este minim atunci când C=0.C=0. Deci Dmin=8⋅0+6=6.D_{min} = 8 \cdot 0 + 6 = 6.

E.487. Care este numărul care împărțit la 55 dă câtul 459459 și restul mai mare decât jumătatea succesorului împărțitorului?

Admite Loga, 2024
Răspuns | Soluție

Răspuns: 2299.2299.

Soluție:

Din TIR avem D=5⋅459+R,D=5 \cdot 459 + R, cu R<5.\boxed{R <5}.
Jumătatea succesorului împărțitorului este (5+1):2=3,(5+1):2=3, deci R>3.\boxed{R>3}.
Cum R>3R>3 și R<5⇒R=4.R<5 \Rightarrow \boxed{R=4}.
Revenind la egalitatea inițială, D=5⋅459+4=2299.D = 5 \cdot 459 + 4 =2299.

E.488. Suma a două numere naturale este 2023.2023. Dacă împărţim numărul mai mare la cel mic obținem câtul și restul egale cu 3.3. Calculați diferenţa numerelor.

Admite Loga, 2023
Răspuns | Soluție

Răspuns: 1013.1013.

Soluție:

Notăm cu aa și bb cele două numere, cu a>b.a>b.
Din TIR avem: a=b⋅3+3.\boxed{a=b \cdot 3 + 3}.
Dar a+b=2023,a+b=2023, deci b=2023−a.\boxed{b=2023-a}.

Așadar, a=(2023−a)⋅3+3a=(2023-a) \cdot 3 + 3
a=2023⋅3−3a+3a = 2023\cdot 3 - 3a + 3
4a=6072⇒a=1518⇒b=505⇒a−b=1013.4a=6072 \Rightarrow \boxed{a=1518} \Rightarrow \boxed{b=505} \Rightarrow \boxed{a-b=1013}.

E.489. Care este cel mai mare număr natural care împărţit la 5050 dă restul egal cu dublul câtului?

Admite Loga, 2021
Răspuns | Soluție

Răspuns: 1248.1248.

Soluție:

Din TIR avem: D=50⋅C+R,D=50 \cdot C + R, cu R<50.R<50.
DD este maxim când RR este maxim. Cum R=2C,R = 2C, căutăm cel mai mare număr par mai mic decât 50.50.
Deci R=48\boxed{R=48} și C=24⇒Dmax=50⋅24+48=1248.\boxed{C=24} \Rightarrow D_{max} = 50 \cdot 24 + 48=1248.

E.490. Cel mai mic număr de trei cifre, care prin împărţire la un număr de o cifră dă restul 8?8?

Admite Loga, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: 107.107.

Soluție:

Din TIR avem D=I^⋅C+8,D = Î \cdot C + 8, cu 8<I^.8 < Î.
Cum 8<I^8 < Î și I^Î este o cifră, rezultă I^=9.\boxed{Î=9}.
Revenind la relația inițială, avem D=9C+8.D = 9C+8.
DD este minim și are 33 cifre atunci când C=11⇒D=9⋅11+8=107.\boxed{C=11} \Rightarrow D=9 \cdot 11 + 8 = 107.

E.491. Suma a 44 numere este 120.120. Ȋmpărţind 33 dintre ele la al patrulea obţinem de fiecare dată câtul 33 și restul 0.0. Care este cel mai mic număr dintre ele?

Admite Loga, Baraj, 2019
Răspuns | Soluție

Răspuns: 12.12. (în test e trecut 1010)

Soluție:

Notăm cele 4 numere cu a,b,c,d,a,b,c,d, unde dd este cel mai mic dintre ele. Din TIR avem:

  • a=d⋅3+0;a = d \cdot 3 + 0;
  • b=d⋅3+0;b = d \cdot 3 + 0;
  • c=d⋅3+0;c = d \cdot 3 + 0;

Prin adunare obținem a+b+c=9d.\boxed{a+b+c = 9d}.
Dar a+b+c+d=120⇒9d+d=120⇒d=12.a+b+c +d= 120 \Rightarrow 9d+d=120 \Rightarrow \boxed{d=12}.

E.493. Restul unei împărțiri este cu 2020 mai mic decât câtul. Câtul este triplul celei mai mari cifre. Deîmpărțitul este par, iar împărțitorul are o singură cifră. Calculați suma dintre deîmpărțit, împărțitor, cât și rest.

Admite Loga, 2018
Răspuns | Soluție

Răspuns: 293.293.

Soluție:

Din TIR avem D=I^⋅C+R,D=Î \cdot C + R, unde R<I^.R<Î.

  • Cea mai mare cifră este 9⇒C=3⋅9=27.9 \Rightarrow \boxed{C=3 \cdot 9 = 27}.
  • R=C−20⇒R=7.R = C-20 \Rightarrow \boxed{R=7}.
  • Cum RR și CC sunt impare și DD este par ⇒I^\Rightarrow Î trebuie să fie impar. Dar R<I^R<Î și I^Î este impar, cu o singură cifră ⇒I^=9.\Rightarrow \boxed{Î=9}.
  • D=9⋅27+7,D= 9 \cdot 27+7, deci D=250.\boxed{D=250}.

D+I^+C+R=250+9+27+7=293.D+Î + C + R = 250 + 9 + 27+7 = 293.

E.494. Calculați suma tuturor resturilor care se pot obține prin împărţirea unui număr la 11.11.

Admite Loga, 2014
Răspuns | Soluție

Răspuns: 55.55.

Soluție:

Conform TIR, resturile obținute prin împărțirea unui număr la 1111 pot fi 0,1,2,…,10.0,1,2, \ldots, 10.
Adunând aceste resturi obținem 10⋅11:2=55.10 \cdot 11 :2 = 55.

E.496. Aflați cel mai mare număr natural care împărțit la 20182018 dă restul mai mare decât câtul.

Mate2000 pentru performanță, 11/20
Răspuns | Soluție

Răspuns: Dmax=2018⋅2016+2017.D_{max} = 2018 \cdot 2016 + 2017.

Soluție:

Din TIR, D=2018⋅C+R,D= 2018 \cdot C + R, cu R<2018.R<2018.
Deîmpărțitul este maxim când CC și RR au valori maxime:

  • Rmax=2017;\boxed{R_{max} = 2017};
  • C<R⇒Cmax=2016.C<R \Rightarrow \boxed{C_{max}=2016}.

Așadar, Dmax=2018⋅2016+2017.D_{max} = 2018 \cdot 2016 + 2017.

E.497. Câte numere naturale de 33 cifre împărțite la 5858 dau restul 34?34?

Mate2000 pentru performanță, 13/20
Răspuns | Soluție

Răspuns: 15.15.

Soluție:

Din TIR, D=58⋅C+34.D=58 \cdot C + 34.

  • Din D≥100⇒58⋅C+34≥100⇒c≥2;D \geq 100 \Rightarrow 58 \cdot C + 34 \geq 100 \Rightarrow \boxed{c \geq 2};
  • Din D≤999⇒58⋅C+34≤999⇒c≤16.D \leq 999 \Rightarrow 58 \cdot C + 34 \leq 999 \Rightarrow \boxed{c \leq 16}.

Din cele două condiții rezultă că cc pooate lua 1515 valori, deci în total vom avea 1515 numere.

E.498. Împărțind numerele de la 11 la 100100 la 5,5, se obțin mai multe resturi și mai multe câturi. Aflați suma tuturor resturilor.

Mate2000 pentru performanță, 15/20
Răspuns | Soluție

Răspuns: 200.200.

Soluție:
1=0⋅5+12=0⋅5+23=0⋅5+34=0⋅5+45=1⋅5+0}⇒grupa 1, suma resturilor = 1+2+3+4=10 \begin{rcases} 1 = 0 \cdot 5 + 1 \\ 2 = 0 \cdot 5 + 2 \\ 3 = 0 \cdot 5 + 3 \\ 4 = 0 \cdot 5 + 4 \\ 5 = 1 \cdot 5 + 0 \\ \end{rcases} \Rightarrow \text {grupa 1, suma resturilor = 1+2+3+4=10}
6=1⋅5+17=1⋅5+28=1⋅5+39=1⋅5+410=2⋅5+0}⇒grupa 2, suma resturilor = 10. \begin{rcases} 6 = 1 \cdot 5 + 1 \\ 7 = 1 \cdot 5 + 2 \\ 8 = 1 \cdot 5 + 3 \\ 9 = 1 \cdot 5 + 4 \\ 10 = 2 \cdot 5 + 0 \\ \end{rcases} \Rightarrow \text {grupa 2, suma resturilor = 10.}

...

Observăm că suma resturilor se repetă din 55 în 5.5. Ultima grupă completă va fi:

96=19⋅5+197=19⋅5+298=19⋅5+399=19⋅5+4100=20⋅5+0}⇒grupa 20, suma resturilor = 10. \begin{rcases} 96 = 19 \cdot 5 + 1 \\ 97 = 19 \cdot 5 + 2 \\ 98 = 19 \cdot 5 + 3 \\ 99 = 19 \cdot 5 + 4 \\ 100 = 20 \cdot 5 + 0 \\ \end{rcases} \Rightarrow \text {grupa 20, suma resturilor = 10.}

Suma tuturor resturilor este 20⋅10=200.20 \cdot 10 = 200.

E.499. Un număr natural împărțit la 88 dă restul 3.3. Dacă împărțim același număr la 6,6, restul este 5.5. Ce paritate are câtul în acest al doilea caz?

Mate2000 pentru performanță, 17/20
Răspuns | Soluție

Răspuns: impar.

Soluție:
D=8⋅a+3D=6⋅b+5}⇒8a+3=6b+5⇒8a=6b+2⇒4a=3b+1⇒b este impar. \begin{rcases} D = 8 \cdot a + 3 \\ D = 6 \cdot b + 5 \end{rcases} \Rightarrow 8a + 3 = 6b + 5 \Rightarrow 8a=6b+2 \Rightarrow \boxed{4a=3b+1} \Rightarrow b \text{ este impar}.

E.500. Aflați numerele a,ba,b și c,c, știind că împărțind pe aa la bb obținem câtul 33 și restul 2,2, împărțind pe aa la cc obținem câtul 22 și restul 3,3, iar suma dintre aa și cc este 24.24.

Mate2000 pentru performanță, 9/20
Răspuns | Soluție

Răspuns: a=17, b=5, c=7.a=17, ~b=5, ~c=7.

Soluție:
a=c⋅2+3a=24−c}⇒2c+3=24−c⇒c=7⇒a=17. \begin{rcases} a = c \cdot 2 + 3 \\ a=24-c \end{rcases} \Rightarrow 2c+3=24-c \Rightarrow \boxed{c=7} \Rightarrow \boxed{a=17}.

Din a=b⋅3+2⇒b=(a−2):3,a = b \cdot 3 + 2 \Rightarrow b=(a-2):3, deci b=5.\boxed{b=5}.

Nivel mediu

E.495. Suma a două numere naturale este 80,80, iar câtul împărțirii celui mai mare la cel mai mic este 3.3. Aflați cele două numere. Câte soluții are problema?

Mate2000 pentru performanță, 4/19
Răspuns | Soluție

Răspuns: (a,b)∈{(60,20),(61,19),(62,18),(63,17)}.(a,b) \in \{(60,20), (61,19), (62,18), (63,17)\}.

Soluție:

Fie aa și bb cele două numere, cu a<b.a<b.
Din TIR avem a=b⋅3+R⇒R=a−3b.a=b \cdot 3 +R \Rightarrow R=a-3b. Cum a=80−b⇒R=80−4b.\boxed{a=80-b} \Rightarrow\boxed{R=80-4b}.
Dar tot din TIR, R<b.R<b.
Deci 80−4b<b⇒80<5b⇒b>16.80-4b<b \Rightarrow 80<5b \Rightarrow \boxed{b>16}.

  • b=17⇒R=80−4⋅17=12⇒a=63;\boxed{b=17} \Rightarrow R=80-4\cdot17=12 \Rightarrow \boxed{a=63};
  • b=18⇒R=80−4⋅18=8⇒a=62;\boxed{b=18} \Rightarrow R=80-4\cdot18=8 \Rightarrow \boxed{a=62};
  • b=19⇒R=80−4⋅19=4⇒a=61;\boxed{b=19} \Rightarrow R=80-4\cdot19=4 \Rightarrow \boxed{a=61};
  • b=20⇒R=80−4⋅20=0⇒a=60;\boxed{b=20} \Rightarrow R=80-4\cdot20=0 \Rightarrow \boxed{a=60};

Deci problema are 44 soluții.

Nume CreatLa (UTC)
Tema5 Teorema împărțirii cu rest 22-11-2024 14:33