Exercițiul 498

E.498. Împărțind numerele de la 11 la 100100 la 5,5, se obțin mai multe resturi și mai multe câturi. Aflați suma tuturor resturilor.

Mate2000 pentru performanță, 15/20
Răspuns | Soluție

Răspuns: 200.200.

Soluție:
1=0⋅5+12=0⋅5+23=0⋅5+34=0⋅5+45=1⋅5+0}⇒grupa 1, suma resturilor = 1+2+3+4=10 \begin{rcases} 1 = 0 \cdot 5 + 1 \\ 2 = 0 \cdot 5 + 2 \\ 3 = 0 \cdot 5 + 3 \\ 4 = 0 \cdot 5 + 4 \\ 5 = 1 \cdot 5 + 0 \\ \end{rcases} \Rightarrow \text {grupa 1, suma resturilor = 1+2+3+4=10}
6=1⋅5+17=1⋅5+28=1⋅5+39=1⋅5+410=2⋅5+0}⇒grupa 2, suma resturilor = 10. \begin{rcases} 6 = 1 \cdot 5 + 1 \\ 7 = 1 \cdot 5 + 2 \\ 8 = 1 \cdot 5 + 3 \\ 9 = 1 \cdot 5 + 4 \\ 10 = 2 \cdot 5 + 0 \\ \end{rcases} \Rightarrow \text {grupa 2, suma resturilor = 10.}

...

Observăm că suma resturilor se repetă din 55 în 5.5. Ultima grupă completă va fi:

96=19⋅5+197=19⋅5+298=19⋅5+399=19⋅5+4100=20⋅5+0}⇒grupa 20, suma resturilor = 10. \begin{rcases} 96 = 19 \cdot 5 + 1 \\ 97 = 19 \cdot 5 + 2 \\ 98 = 19 \cdot 5 + 3 \\ 99 = 19 \cdot 5 + 4 \\ 100 = 20 \cdot 5 + 0 \\ \end{rcases} \Rightarrow \text {grupa 20, suma resturilor = 10.}

Suma tuturor resturilor este 20⋅10=200.20 \cdot 10 = 200.