Exercițiul 495

E.495. Suma a două numere naturale este 80,80, iar câtul împărțirii celui mai mare la cel mai mic este 3.3. Aflați cele două numere. Câte soluții are problema?

Mate2000 pentru performanță, 4/19
Răspuns | Soluție

Răspuns: (a,b)∈{(60,20),(61,19),(62,18),(63,17)}.(a,b) \in \{(60,20), (61,19), (62,18), (63,17)\}.

Soluție:

Fie aa și bb cele două numere, cu a<b.a<b.
Din TIR avem a=b⋅3+R⇒R=a−3b.a=b \cdot 3 +R \Rightarrow R=a-3b. Cum a=80−b⇒R=80−4b.\boxed{a=80-b} \Rightarrow\boxed{R=80-4b}.
Dar tot din TIR, R<b.R<b.
Deci 80−4b<b⇒80<5b⇒b>16.80-4b<b \Rightarrow 80<5b \Rightarrow \boxed{b>16}.

  • b=17⇒R=80−4⋅17=12⇒a=63;\boxed{b=17} \Rightarrow R=80-4\cdot17=12 \Rightarrow \boxed{a=63};
  • b=18⇒R=80−4⋅18=8⇒a=62;\boxed{b=18} \Rightarrow R=80-4\cdot18=8 \Rightarrow \boxed{a=62};
  • b=19⇒R=80−4⋅19=4⇒a=61;\boxed{b=19} \Rightarrow R=80-4\cdot19=4 \Rightarrow \boxed{a=61};
  • b=20⇒R=80−4⋅20=0⇒a=60;\boxed{b=20} \Rightarrow R=80-4\cdot20=0 \Rightarrow \boxed{a=60};

Deci problema are 44 soluții.