Principiul parității

Cum pentru oricare numere naturale $x, y, z$ membrul stâng al egalității date este număr natural impar, deducem că în membrul drept, suma $2020^a+2022^b+2024^c$ trebuie să fie un număr impar, deci cel puțin unul dintre numerele $a, b, c$ este $0.$
Așadar, $a \cdot b \cdot c = 0 \Rightarrow \boxed{P=1}.$

Fie $x_1, x_2,\ldots,x_{20}$ cele $20$ de numere astfel încât $x_1+x_2+\ldots x_{20}=2005.$

• Fie $x_1, x_2,\ldots,x_{7}$ astfel încât $x_1+x_2+\ldots x_{7}=900 \Rightarrow$ cel puțin un număr este par.
• Fie $x_8, x_9,\ldots,x_{13}$ astfel încât $x_8+x_9+\ldots x_{13}=600 \Rightarrow$ cel puțin un număr este par.
• Deci $x_{14}+x_{15}+\ldots x_{20}=2005-(900+601)=504 \Rightarrow$ cel puțin un număr este par.

În concluzie, printre cele $20$ de numere există cel puțin $3$ numere pare.

Pătratele unei table de șah sunt colorate alternativ, cu alb și negru. În jocul de șah, mutarea unui cal este în formă de L, iar culoarea pătratului de pe care pleacă un cal este contrară culorii pătratului pe care ajunge acesta (alb $\rightarrow$ negru, negru $\rightarrow$ alb). Un cal care pleacă de pe un pătrat negru ($a_1$) va ajunge tot pe un pătrat negru ($a_1$) numai după un număr par de mutări. Prin urmare, nu este posibil ca un cal care pleacă din $a_1$ să ajungă după $101$ mutări tot în $a_1.$

$a+b+a^2+b^2+a^3+b^3+a^6+b^6 =$
$=\underbrace{a(a+1)}_{par} + \underbrace{b(b+1)}_{par} + \underbrace{a^3(a^3+1)}_{par} + \underbrace{b^3(b^3+1)}_{par} =$ par, deci diferit de $2009.$
Am folosit faptul că produsul oricăror două numere consecutive este un număr par.

Numerele fiind distincte, există două care au aceeași paritate $\Rightarrow$ diferența lor se divide cu $2 \Rightarrow p$ este par.