Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurd

Nivel introductiv

E.733. Cei 2626 de cavaleri ai Mesei Rotunde și-au numerotat scaunele cu numere de la 11 la 26.26. Există o aranjare a celor 2626 de scaune în jurul Mesei Rotunde, astfel încât suma numerelor inscripționate pe oricare trei scaune vecine să fie număr impar?

Olimpiadă, etapa locală, Tulcea, 2024

E.739. Arătați că nu există un număr natural care împărțit la 22 să dea restul 11 și împărțit la 44 să dea restul 2.2.

Aritmetică pentru excelență, Artur Bălăucă, 5/102

E.740. Există 55 numere naturale a,b,c,d,ea,b,c,d,e cu proprietatea că suma oricăror patru dintre ele dă restul 11 prin împărțirea la 4?4?

Concursul "Matematica de drag", Bistrița, 2010
Aritmetică pentru excelență, Artur Bălăucă, 21/107
Soluție
Soluție:

Presupunem prin absurd, că există 55 numere naturale a,b,c,d,ea,b,c,d,e cu proprietatea că suma oricăror patru dintre ele dă restul 11 prin împărțirea la 4.4. În acest caz, putem scrie:
a+b+c+d=4⋅c1+1a+b+c+d = 4 \cdot c_1+1
a+b+c+e=4⋅c2+1a+b+c+e = 4 \cdot c_2+1
a+b+d+e=4⋅c3+1a+b+d+e = 4 \cdot c_3+1
a+c+d+e=4⋅c4+1a+c+d+e = 4 \cdot c_4+1
b+c+d+e=4⋅c5+1b+c+d+e = 4 \cdot c_5+1

Prin adunare obținem: 4(a+b+c+d+e)=4(c1+c2+c3+c4+c5)+4+1.4(a+b+c+d+e)=4(c_1+c_2+c_3+c_4+c_5) + 4 +1.
Adică M4=M4+1M_4=M_4+1 (imposibil).
Așadar, presupunerea făcută este falsă. Prin urmare, nu există 55 numere cu proprietatea cerută.

E.741. La o masă rotundă stau 20082008 persoane a căror sumă a vârstelor este 3113^{11} ani. Arătați că oricum se așează la masă aceste persoane, vor exista două persoane alăturate a căror sumă a vârstelor este mai mare de 8181 ani.

Olimpiadă, etapa județeană, Botoșani, 2008
Aritmetică pentru excelență, Artur Bălăucă, 42/108
Soluție
Soluție:

Presupunem, prin absurd, că indiferent de așezare, nu exista două persoane alăturate a căror sumă a vârstelor să fie mai mare de 8181 ani.

Considerăm persoanele p1,p2,…,p2008,p_1, p_2, \ldots,p_{2008}, așezate în această ordine. În acest caz:
p1+p2≤81p_1+p_2 \leq 81
p2+p3≤81p_2+p_3 \leq 81
...
p2008+p1≤81p_{2008}+p_{1} \leq 81.

Prin însumare obținem:
2(p1+p2+…+p2008)≤81⋅20082(p_1+p_2+\ldots+p_{2008}) \leq 81 \cdot 2008
2⋅311≤34⋅20082 \cdot 3^{11} \leq 3^4 \cdot 2008
37≤10043^7 \leq 1004
2187≤10042187 \leq 1004 (fals).

Evident, la aceeași concluzie ajungem indiferent cum am aranja cele 20082008 persoane. Așadar, presupunerea făcută este falsă.
Prin urmare, indiferent de aranjare, vor exista două persoane alăturate a căror sumă a vârstelor este mai mare de 8181 ani.