Exercițiul 740

E.740. Există 55 numere naturale a,b,c,d,ea,b,c,d,e cu proprietatea că suma oricăror patru dintre ele dă restul 11 prin împărțirea la 4?4?

Concursul "Matematica de drag", Bistrița, 2010
Aritmetică pentru excelență, Artur Bălăucă, 21/107
Soluție
Soluție:

Presupunem prin absurd, că există 55 numere naturale a,b,c,d,ea,b,c,d,e cu proprietatea că suma oricăror patru dintre ele dă restul 11 prin împărțirea la 4.4. În acest caz, putem scrie:
a+b+c+d=4⋅c1+1a+b+c+d = 4 \cdot c_1+1
a+b+c+e=4⋅c2+1a+b+c+e = 4 \cdot c_2+1
a+b+d+e=4⋅c3+1a+b+d+e = 4 \cdot c_3+1
a+c+d+e=4⋅c4+1a+c+d+e = 4 \cdot c_4+1
b+c+d+e=4⋅c5+1b+c+d+e = 4 \cdot c_5+1

Prin adunare obținem: 4(a+b+c+d+e)=4(c1+c2+c3+c4+c5)+4+1.4(a+b+c+d+e)=4(c_1+c_2+c_3+c_4+c_5) + 4 +1.
Adică M4=M4+1M_4=M_4+1 (imposibil).
Așadar, presupunerea făcută este falsă. Prin urmare, nu există 55 numere cu proprietatea cerută.