Exercițiul 741

Presupunem, prin absurd, că indiferent de așezare, nu exista două persoane alăturate a căror sumă a vârstelor să fie mai mare de $81$ ani.

Considerăm persoanele $p_1, p_2, \ldots,p_{2008},$ așezate în această ordine. În acest caz:
$p_1+p_2 \leq 81$
$p_2+p_3 \leq 81$
...
$p_{2008}+p_{1} \leq 81$.

Prin însumare obținem:
$2(p_1+p_2+\ldots+p_{2008}) \leq 81 \cdot 2008$
$2 \cdot 3^{11} \leq 3^4 \cdot 2008$
$3^7 \leq 1004$
$2187 \leq 1004$ (fals).

Evident, la aceeași concluzie ajungem indiferent cum am aranja cele $2008$ persoane. Așadar, presupunerea făcută este falsă.
Prin urmare, indiferent de aranjare, vor exista două persoane alăturate a căror sumă a vârstelor este mai mare de $81$ ani.