Principiul invariantului

Notăm cu $r$ și $v$ numărul bilelor roșii, respectiv verzi. Avem $3$ cazuri:

• Extrage două bile roșii și pune înapoi o bilă roșie $\Rightarrow r=r-1$ și $v=v$ (numărul bilelor roșii scade cu 1, numărul bilelor verzi nu s-ar modifică);
• Extrage două bile verzi și pune înapoi o bilă roșie $\Rightarrow r=r+1$ și $v=v-2$;
• Extrage două bile de culori diferite și pune înapoi o bilă verde $\Rightarrow r=r-1$ și $v=v$.

Observăm că prin repetare, numărul bilelor roșii își schimbă paritatea, pe când numărul bilelor verzi va avea mereu aceeași paritate. La final trebuie să rămânem cu o bilă și cum numărul de bile verzi este mereu impar, bila rămasă trebuie să fie verde.

În schimbul de cartonașe dintr-o rundă pot fi implicați $2, 3$ sau $4$ copii:

• 2 copii: $A \leftrightarrow B;$
• 3 copii: $A \rightarrow B \rightarrow C$ sau $A \rightarrow B \leftarrow C;$
• 4 copii: $A \rightarrow B$ și $C \rightarrow D.$

Observăm că după fiecare rundă, indiferent de situație, numărul de copii care își schimbă paritatea aferentă numărului de cartonașe este $0$ sau $2,$ deci numărul de copii care își păstrează paritate va fi $16$ sau $18,$ adică un număr par.

TODO: Refă demonstrația. Vezi postare LM pe MM.