Exercițiul 736

E.736. Un grup de 1818 copii sunt așezați la o masă circulară. La început, fiecare copil are câte un cartonaș. Între copii începe un joc cu mai multe runde, respectând următoarea regulă: la fiecare rundă, doi dintre copii dau câte un cartonaș unui vecin. Demonstrați că, indiferent de numărul rundelor efectuate, nu se pot strânge toate cartonașele la același copil.

Olimpiadă, etapa locală, Galați, 2024
Soluție
Soluție:

În schimbul de cartonașe dintr-o rundă pot fi implicați 2,32, 3 sau 44 copii:

  • 2 copii: A↔B;A \leftrightarrow B;
  • 3 copii: A→B→CA \rightarrow B \rightarrow C sau A→B←C;A \rightarrow B \leftarrow C;
  • 4 copii: A→BA \rightarrow B și C→D.C \rightarrow D.

Observăm că după fiecare rundă, indiferent de situație, numărul de copii care își schimbă paritatea aferentă numărului de cartonașe este 00 sau 2,2, deci numărul de copii care își păstrează paritate va fi 1616 sau 18,18, adică un număr par.

TODO: Refă demonstrația. Vezi postare LM pe MM.