Exercițiul 708

E.708. Mihai are într-o cutie 2626 bile roșii și 2929 bile verzi. El se joacă scoțând de fiecare dată două bile din cutie. Dacă acestea au aceeași culoare, pune înapoi în cutie o bilă roșie, dacă au culori diferite pune înapoi în cutie o bilă verde. Repetă mișcarea până ce în cutie mai rămâne o singură bilă. Ce culoare va avea această bilă? Justificați răspunsul.

Olimpiadă, etapa locală, Timiș, 2024
Răspuns | Soluție

Răspuns: Verde

Soluție:

Notăm cu rr și vv numărul bilelor roșii, respectiv verzi. Avem 33 cazuri:

  • Extrage două bile roșii și pune înapoi o bilă roșie ⇒r=r−1\Rightarrow r=r-1 și v=vv=v (numărul bilelor roșii scade cu 1, numărul bilelor verzi nu s-ar modifică);
  • Extrage două bile verzi și pune înapoi o bilă roșie ⇒r=r+1\Rightarrow r=r+1 și v=v−2v=v-2;
  • Extrage două bile de culori diferite și pune înapoi o bilă verde ⇒r=r−1\Rightarrow r=r-1 și v=vv=v.

Observăm că prin repetare, numărul bilelor roșii își schimbă paritatea, pe când numărul bilelor verzi va avea mereu aceeași paritate. La final trebuie să rămânem cu o bilă și cum numărul de bile verzi este mereu impar, bila rămasă trebuie să fie verde.