Exercițiul 742

E.742. Suma a 2020 de numere naturale este 2005.2005. Suma a 77 dintre ele este 900900 și cea a altor 66 numere este 601.601. Să se demonstreze că printre cele 2020 de numere există cel puțin 33 numere pare.

Mariana Coadă, Olimpiadă, etapa locală, Galați, 2008
Principii și metode de rezolvare V-VI, 17/61, GIL
Soluție
Soluție:

Fie x1,x2,…,x20x_1, x_2,\ldots,x_{20} cele 2020 de numere astfel încât x1+x2+…x20=2005.x_1+x_2+\ldots x_{20}=2005.

  • Fie x1,x2,…,x7x_1, x_2,\ldots,x_{7} astfel încât x1+x2+…x7=900⇒x_1+x_2+\ldots x_{7}=900 \Rightarrow cel puțin un număr este par.
  • Fie x8,x9,…,x13x_8, x_9,\ldots,x_{13} astfel încât x8+x9+…x13=600⇒x_8+x_9+\ldots x_{13}=600 \Rightarrow cel puțin un număr este par.
  • Deci x14+x15+…x20=2005−(900+601)=504⇒x_{14}+x_{15}+\ldots x_{20}=2005-(900+601)=504 \Rightarrow cel puțin un număr este par.

În concluzie, printre cele 2020 de numere există cel puțin 33 numere pare.