Exercițiul 744

E.744. Demonstrați că nu există numerele naturale a,ba,b astfel încât a+b+a2+b2+a3+b3+a6+b6=2009.a+b+a^2+b^2+a^3+b^3+a^6+b^6=2009.

Călin Burdușel, Olimpiadă, etapa locală, Dâmbovița, 2010
N. Grigore, Olimpiade și concursuri, 16/81
Soluție
Soluție:

a+b+a2+b2+a3+b3+a6+b6=a+b+a^2+b^2+a^3+b^3+a^6+b^6 =
=a(a+1)⏟par+b(b+1)⏟par+a3(a3+1)⏟par+b3(b3+1)⏟par==\underbrace{a(a+1)}_{par} + \underbrace{b(b+1)}_{par} + \underbrace{a^3(a^3+1)}_{par} + \underbrace{b^3(b^3+1)}_{par} = par, deci diferit de 2009.2009.
Am folosit faptul că produsul oricăror două numere consecutive este un număr par.