Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor sau a sistemelor de ecuații
Nivel introductiv
E.189. Dacă într-o sală de clasă stau 2 elevi într-o bancă, 5 elevi stau în picioare, iar dacă stau câte 3 în bancă, rămân 3 bănci goale. Câte bănci și câți elevi sunt?
E.193. Dacă într-o sală de clasă se așează câte un elev într-o bancă, rămân 6 elevi în picioare. Dacă se așează câte doi elevi într-o bancă, iar într-o singură bancă stă un elev, atunci rămân 4 bănci libere. Aflați câte bănci și câți elevi sunt.
Notăm cu b numărul de bănci și cu e numărul de elevi. Ecuațiile pentru cele două scenarii sunt: {e=b⋅1+6e=(b−5)⋅2+1
Deci b+6=2b−10+1⇒b=15.
Înlocuind pe b în prima ecuație obținem e=21.
E.190. Într-un bloc sunt x apartamente cu 3 camere și y apartamente cu 4 camere, în total 96 camere. Dacă ar fi y apartamente cu 3 camere și x apartamente cu 4 camere, în bloc ar fi 93 camere. Să se determine x și y.
E.194. Un elev are de rezolvat niște probleme de matematică într-un anumit interval de timp. Dacă ar rezolva câte 4 probleme pe zi, i-ar rămâne 7 probleme nerezolvate, iar dacă ar rezolva câte 6 probleme pe zi, i-ar rămâne o singura problemă nerezolvată. Aflați câte probleme trebuie să rezolve elevul.
Notăm cu z numărul de zile pe care elevul le are la dispoziție și cu p numărul de probleme pe care le are de rezolvat. Ecuațiile pentru cele două scenarii sunt: {p=4⋅z+7p=6⋅z+1
Deci 4z+7=6z+1⇒z=3.
Înlocuind pe z în prima ecuație obținem p=19.
E.195. Pe un raft sunt tetraedre și cuburi care au, în total, 44 de vârfuri și 38 de fețe. Aflați numărul cuburilor de pe raft.
Indicații: Un cub are 6 fețe și 8 vârfuri, iar un tetraedru are 4 fețe și 4 vârfuri. Notăm cu c numărul de cuburi și cu t numărul de tetraedre, apoi scriem ecuațiile pentru vârfuri, respectiv fețe.
Răspuns:3 cuburi, 5 tetraedre.
Soluție:
Un cub are 6 fețe și 8 vârfuri, iar un tetraedru are 4 fețe și 4 vârfuri. Notăm cu c numărul de cuburi și cu t numărul de tetraedre. Scriem ecuațiile pentru vârfuri, respectiv fețe: {44=c⋅8+t⋅438=c⋅6+t⋅4
Folosind metoda reducerii obținem 44−38=8c−6c⇒c=3.
Înlocuind pe c în prima ecuație obținem t=5.
E.196. Într-un bloc sunt 18 apartamente cu 2 sau 3 camere, în total 42 camere. Câte apartamente cu 2 camere sunt în bloc?
Răspuns:12 ap. cu două camere, 6 ap. cu trei camere.
Soluție:
Notăm cu x numărul de apartamente cu 2 camere și cu y numărul de apartamente cu 3 camere. Ecuațiile pentru numărul de camere, respectiv numărul de apartamente, sunt: {42=2⋅x+3⋅yx+y=18
Folosim metoda substituției. Din a 2-a ecuație avem y=18−x(1).
Înlocuind pe y în prima ecuație obținem 42=2x+3(18−x) 42=2x+54−3x⇒x=12. y=18−12, deci y=6.
E.586. Dacă elevii unei clase se așază câte 2 în fiecare bancă din laboratorul de fizică, atunci rămân 3 elevi în picioare. Dacă elevii se așază câte 4 în bancă, atunci rămân 5 bănci libere și o bancă în care stă un singur elev.
a) Verifică dacă în acea clasă pot fi 30 de elevi. Justifică răspunsul dat.
b) Determină numărul băncilor din laboratorul de fizică.
a) Din al doilea scenariu avem 30=4⋅k+1, unde k reprezintă numărul de bănci în care stau 4 elevi. ⇒k=29:4 (nu convine, pentru că numărul de bănci trebuie să fie un număr natural). Deci în clasă nu pot fi 30 de elevi.
b) Notăm cu e și b numărul de elevi, respectiv numărul de bănci.
e=2b+3e=4(b−6)+1}⇒2b+3=4(b−6)+1⇒b=13.
E.587. Maria aranjează cărțile din bibliotecă și observă că dacă le grupează câte 8, câte 12 sau câte 18 îi rămân de fiecare dată câte 5 cărți.
a) Verifică dacă Maria poate avea în bibliotecă 53 de cărți. Justifică răspunsul dat.
b) Determină numărul cărților din biblioteca Mariei, știind că acesta este cel mai mic număr natural de trei cifre cu proprietățile din enunț.
a) Calculăm resturile împărțirii lui 53 la 8,12 și 18:
53=8⋅6+5
53=12⋅4+5
53=18⋅2+17 (nu convine, 17=5). Deci Maria nu poate avea 53 de cărți.
b) Notăm cu n numărul de cărți din bibliotecă și cu x,y,z numărul de grupe de câte 8,12, respectiv 18 cărți.
n=8⋅x+5n=12⋅y+5n=18⋅z+5⎭⎬⎫⇒⎩⎨⎧x=8n−5y=12n−5z=18n−5
Cum x,y,z sunt numere naturale, înseamnă că n−5 trebuie să fie un multiplu de 8,12 și 18. [8,12,18]=[23,22⋅3,2⋅32]=23⋅32=72.
Deci cel mai mic multiplu care este comun celoor 3 numere și care are 3 cifre este 72⋅2=144. n−5=144⇒n=149.
E.588. Într-un bloc de locuințe sunt 22 de apartamente cu două, respectiv cu patru camere, în total fiind 60 de camere.
a) Este posibil ca în acest bloc să fie 16 apartamente cu patru camere? Justifică răspunsul dat.
b) Determină numărul de apartamente cu două camere din acest bloc.
a)16 apartamente cu 4 camere au 16⋅4=64 camere, adică mai mult decât numărul din enunț.
În concluzie, blocul nu poate avea 16 apartamente cu 4 camere.
b) Notăm cu d și p numărul de apartamente cu două, respectiv cu patru camere.
d+p=2260=d⋅2+p⋅4}⇒d=14.
E.589. Bunica împarte nuci și mere nepoților săi. Numărul nucilor este de 3 ori mai mare decât numărul merelor. După ce a dat fiecărui nepot câte 3 mere și câte 8 nuci, bunicii i-au mai rămas două mere și 14 nuci.
a) Poate avea bunica 6 nepoți? Justifică răspunsul.
b) Determinați câți nepoți are bunica.
Notăm cu m și n numărul merelor, respectiv al nucilor pe care bunica le are inițial în coș. a) Presupunem că bunica poate avea 6 nepoți. În acest caz:
m=3⋅6+2=20 mere;
n=8⋅6+14=62 nuci.
Cum n=3⋅m, înseamnă că presupunerea făcută este falsă. Deci bunica nu poate ave 6 nepoți.
b) Notăm cu x numărul nepoților.
m=3⋅x+2n=8⋅x+14n=3⋅m⎭⎬⎫⇒8x+14=3(3x+2)⇒x=8.
Nivel mediu
E.191. Într-un coș sunt nuci. Dacă le numărăm câte 3 sau câte 5, de fiecare dată rămân câte 2 nuci. Dacă le numărăm câte 7, nu mai rămâne nicio nucă. Care este numărul minim de nuci din coș.
E.192. Numărul elevilor dintr-o clasă este cuprins între 15 și 40. Dacă elevii s-ar alinia câte 4, ar rămâne un rând cu 2 elevi. Dacă s-ar alinia câte 7, ar rămâne un rând cu 5 elevi. Care este numărul de elevi din clasă?
E.197. La un concurs primești 2 puncte pentru un răspuns corect și pierzi 5 puncte pentru un răspuns greșit. După 20 de întrebări, Adrian are 19 puncte. Câte răspunsuri corecte a dat Adrian?