Exercițiul 195

E.195. Pe un raft sunt tetraedre și cuburi care au, în total, 4444 de vârfuri și 3838 de fețe. Aflați numărul cuburilor de pe raft.

Culegere EN 2019, Paralela 45 (3/90)
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Un cub are 66 fețe și 88 vârfuri, iar un tetraedru are 44 fețe și 44 vârfuri. Notăm cu cc numărul de cuburi și cu tt numărul de tetraedre, apoi scriem ecuațiile pentru vârfuri, respectiv fețe.

Răspuns: 33 cuburi, 55 tetraedre.

Soluție:

Un cub are 66 fețe și 88 vârfuri, iar un tetraedru are 44 fețe și 44 vârfuri. Notăm cu cc numărul de cuburi și cu tt numărul de tetraedre. Scriem ecuațiile pentru vârfuri, respectiv fețe:

{44=c⋅8+t⋅438=c⋅6+t⋅4 \begin{cases} 44 = c \cdot 8 + t \cdot 4\\ 38= c \cdot 6 + t \cdot 4 \end{cases}
Folosind metoda reducerii obținem
44−38=8c−6c⇒c=3.44-38 = 8c-6c \Rightarrow \boxed{c=3}.
Înlocuind pe cc în prima ecuație obținem t=5.\boxed{t=5}.