Exercițiul 587

E.587. Maria aranjează cărțile din bibliotecă și observă că dacă le grupează câte 8,8, câte 1212 sau câte 1818 îi rămân de fiecare dată câte 55 cărți.
a) Verifică dacă Maria poate avea în bibliotecă 5353 de cărți. Justifică răspunsul dat.
b) Determină numărul cărților din biblioteca Mariei, știind că acesta este cel mai mic număr natural de trei cifre cu proprietățile din enunț.

Simulare EN, februarie 2024
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) nu. b) 149.149.

Soluție:

a) Calculăm resturile împărțirii lui 5353 la 8,128,12 și 1818:

  • 53=8⋅6+553=8 \cdot 6 + 5
  • 53=12⋅4+553 = 12 \cdot 4 + 5
  • 53=18⋅2+1753 = 18 \cdot 2 + 17 (nu convine, 17≠517 \not =5). Deci Maria nu poate avea 5353 de cărți.

b) Notăm cu nn numărul de cărți din bibliotecă și cu x,y,zx,y,z numărul de grupe de câte 8,12,8,12, respectiv 1818 cărți.

n=8⋅x+5n=12⋅y+5n=18⋅z+5}⇒{x=n−58y=n−512z=n−518 \begin{rcases} n= 8 \cdot x + 5 \\ n= 12 \cdot y + 5 \\ n= 18 \cdot z + 5 \end{rcases} \Rightarrow \begin{cases} x= \dfrac{n-5}{8} \\ y= \dfrac{n-5}{12} \\ z= \dfrac{n-5}{18} \end{cases}
Cum x,y,zx,y,z sunt numere naturale, înseamnă că n−5n-5 trebuie să fie un multiplu de 8,128,12 și 18.18.
[8,12,18]=[23, 22⋅3, 2⋅32]=23⋅32=72.[8,12,18] = [2^3,~ 2^2 \cdot 3,~ 2 \cdot 3^2] = 2^3 \cdot 3^2=72.
Deci cel mai mic multiplu care este comun celoor 33 numere și care are 33 cifre este 72⋅2=144.72 \cdot 2 = 144.
n−5=144⇒n=149.n-5=144 \Rightarrow \boxed{n=149}.